Question

Um paralelepípedo reto retângulo tem comprimento igual ao quádruplo da largura. Se o volume desse sólido é 32cm^3, calcular suas dimensões sabendo que sua área total é mínima.

Answer 1

O volume desse paralelepípedo será:

V = 4x . x . y

V = 4x²y

A área total é a soma das Áreas das faces:

As faces são duas a duas iguais:

2.4x.y = 8xy

2.x.y = 2xy

2.4x.x = 8x²

A área total será:

A = 8x² + 8xy + 2xy

A = 8x² + 10xy

Queremos a área mínima, então temos que encontrar o valor mínimo da área.

Observe que a área está com duas variáveis. Então, sabendo que o volume é 32cm², vamos isolar x ou y na equação do volume:

V = 4x²y

32 = 4x²y

y = 32/4x²

y = 8/x²

Substituindo na equação da área:

A = 8x² + 10xy

A = 8x² + 10x . (8/x²)

A = 8x² + 80/x

Para encontrar a área mínima, vamos derivar e igualar a zero:

A' = 16x -80/x²

A' = 0

16x -80/x² = 0

16x = 80/x²

16x³ = 80

x³ = 80/16

x³ = 5

x = ∛5

Como

32 = 4x²y

32 = 4(∛5)²y

32 = 4∛25.y

y = 32/4∛25

y = 8/∛25

y =( 8/∛25) . (∛5/ /∛5)

y = (8∛5) / 5

Assim, as dimensões são:

Largura (x) = ∛5

Comprimento (4x) = 4∛5

Altura (y) = (8∛5) / 5 cm