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Boa tarde!
Isso pode ser interpretado da seguinte forma:
O quadrado possui 2 dimensões, sendo ambas iguais, e quando as multiplicamos encontramos sua área.
O mesmo acontece quando o expoente é 3 e chamamos de "cubo", pois o cubo possui 3 dimensões, sendo ambas iguais, e quando as multiplicamos encontramos seu volume.
Olá! O porquê exatamente eu não sei, mas creio que é por causa da área. Quando calculamos a área de um quadrado, nós fazemos lado vezes lado, e como todos os lados de um quadrado são iguais, é como se estivéssemos fazendo uma potência de expoente igual a 2. Por exemplo, se temos um quadrado com lado 2, e queremos saber a área dele, é só fazermos 2 vezes 2, ou 2², que o resultado é 4. Espero que tenha entendido e que eu tenha te ajudado. Bons estudos!