Question

[MATRIZ INVERSA]
Seja A-¹ a inversa de
A= [7 -3]
___[2 -1] - Determine:

a) (A-¹)² + A²

Answer 1

Regra prática para encontrar a inversa de matrizes $2\times 2$:

$\bullet\;\;$ Calcule o determinante da matriz a ser invertida. Só será possível inverter se o determinante for diferente de zero.

$\bullet\;\;$ Troque os elementos da diagonal principal de posição entre si, e troque os sinais dos elementos da diagonal secundária.

$\bullet\;\;$ Multiplique a matriz obtida pelo inverso do determinante da matriz original. O resultado é a matriz já invertida.


Então, vamos achar a inversa da matriz

$\mathbf{A}=\left[ \begin{array}{rr} 7&-3\\ 2&-1 \end{array} \right ]$


$\bullet\;\;$ O determinante de $\mathbf{A}$ é

$\det \mathbf{A}=\det \left[ \begin{array}{rr} 7&-3\\ 2&-1 \end{array} \right ]\\ \\ \det \mathbf{A}=7\cdot \left(-1 \right )-2\cdot \left(-3 \right ) \\ \\ \det \mathbf{A}=-7+6\\ \\ \det \mathbf{A}=-1 \neq 0$

Como o determinante é diferente de zero, então $\mathbf{A}$ possui inversa.


$\bullet\;\;$ Trocando os elementos da diagonal principal de de posição entre si, e trocando os sinais dos elementos da diagonal secundária de $\mathbf{A}$, obtemos a seguinte matriz:

$\left[ \begin{array}{rr} -1&3\\ -2&7 \end{array} \right ]$


$\bullet\;\;$ A inversa de $\mathbf{A}$, é a matriz obtida no passo anterior multiplicada pelo inverso do determinante de $\mathbf{A}$:

$\mathbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{\det \mathbf{A}}\cdot \left[ \begin{array}{rr} -1&3\\ -2&7 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \mathbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{-1}\cdot \left[ \begin{array}{rr} -1&3\\ -2&7 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \mathbf{A}^{-1}=-1\cdot \left[ \begin{array}{rr} -1&3\\ -2&7 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \mathbf{A}^{-1}=\left[ \begin{array}{rr} 1&-3\\ 2&-7 \end{array} \right ]$


a) $\left(\mathbf{A}^{-1} \right )^{2}+\mathbf{A}^{2}$


$\bullet\;\;\left(\mathbf{A}^{-1} \right )^{2}=\mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}\\ \\ \left(\mathbf{A}^{-1} \right )^{2}=\left[ \begin{array}{rr} 1&-3\\ 2&-7 \end{array} \right ]\cdot \left[ \begin{array}{rr} 1&-3\\ 2&-7 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \left(\mathbf{A}^{-1} \right )^{2}=\left[ \begin{array}{rr} 1\cdot 1+\left(-3 \right )\cdot 2\;\;&\;\;1\cdot \left(-3 \right )+\left(-3 \right )\cdot \left(-7 \right )\\ 2\cdot 1+\left(-7 \right )\cdot 2\;\;&\;\;2\cdot \left(-3 \right )+\left(-7 \right )\cdot \left(-7 \right ) \end{array} \right ]\\ \\ \\ \left(\mathbf{A}^{-1} \right )^{2}=\left[ \begin{array}{rr} 1-6\;\;&\;\;-3+21\\ 2-14\;\;&\;\;-6+49 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \left(\mathbf{A}^{-1} \right )^{2}=\left[ \begin{array}{rr} -5&18\\-12&43 \end{array} \right ]$


$\bullet\;\;\mathbf{A}^{2}=\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}\\ \\ \mathbf{A}^{2}=\left[ \begin{array}{rr} 7&-3\\ 2&-1 \end{array} \right ] \cdot \left[ \begin{array}{rr} 7&-3\\ 2&-1 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \mathbf{A}^{2}=\left[ \begin{array}{rr} 7\cdot 7+\left(-3 \right )\cdot 2\;\;&\;\;7\cdot \left(-3 \right )+\left(-3 \right )\cdot \left(-1 \right )\\ 2\cdot 7+\left(-1 \right )\cdot 2\;\;&\;\;2\cdot \left(-3 \right )+\left(-1 \right )\cdot \left(-1 \right ) \end{array} \right ]\\ \\ \\ \mathbf{A}^{2}=\left[ \begin{array}{rr} 49-6\;\;&\;\;-21+3\\ 14-2\;\;&\;\;-6+1 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \mathbf{A}^{2}=\left[ \begin{array}{rr} 43&-18\\ 12&-5 \end{array} \right ]$


$\bullet\;\;\left(\mathbf{A}^{-1} \right )^{2}+\mathbf{A}^{2}=\left[ \begin{array}{rr} -5&18\\-12&43 \end{array} \right ]+\left[ \begin{array}{rr} 43&-18\\ 12&-5 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \left(\mathbf{A}^{-1} \right )^{2}+\mathbf{A}^{2}=\left[ \begin{array}{rr} -5+43\;\;&\;\;18-18\\-12+12&43-5 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \left(\mathbf{A}^{-1} \right )^{2}+\mathbf{A}^{2}=\left[ \begin{array}{rr} 38&0\\0&38 \end{array} \right ]$