Question

São dados quatro números em PG crescente. A soma dos extremos é 27 e a soma dos meios é 18. Determine-os

Answer 1

a_1 + a_4 = a + a q^3 = a(1 + q^3) = 27 
a_2 + a_3 = aq + a q^2 = 18 


(1 + q^3)/(q + q^2) = 27/18 = 3/2. Logo, 

2 + 2q^3 = 3q + 3q^2 => 2q^3 - 3q^2- 3q + 2 =0. Esta é uma equação do terceiro grau, mas neste caso podemos fatorar assim: 

2(q^3 + 1) - 3q(q +1) = 0. E, conforme sabemos, q^3 + 1 = (q + 1)(q^2 - q + 1. Assim, nossa equação fica 

2(q+1)(q^2 - q + 1) - 3q(q+1) = 0. Uma das raízes é q = -1. que não serve porque isto ocasiona que os termos alternem em sinal, e se pede que a PG seja crescente. Dividindo por q+1, obtemos a equação 

2(q^2 - q + 1) - 3q = 0 => 2q^2 - 5q + 2 =0, agora uma equação do segundo grau. Pela fórmula de Bhaskara, obtemos 2 raízes, 

q = (5 + raiz(25 - 16))/4 = (5 + 3)/4 = 2 e q' = (5 - raiz(25 - 16))/4 = (5 -3)/4 = 1/2. Vamos agora analisar o valor de a. 

J´s vimos, na 1a equação, que 
a(1 + q^3) = 27 
Se q = 2, obtemos a* 9 = 27 => a =3. Como a >0 e q = 2 >1, temos uma progressão crescente. 

Se q = 1/2, então a *(1 + 1/8) = a *9/8 = 3 => a = 24/9 = 8/3. Como a>0 e q =1/2 < 1, temos uma PG decrescente que não atende ao enunciado.. 

Assim a única solução é a = 3 e q =2, e os termos são 3, 6, 12, 24.