Question

Encontre os valores do parametro a para o qual as equações quadraticas (1 −

2a)x

2 − 6ax − 1 = 0 e ax2 − x + 1 = 0 tem ao menos uma raiz comum.

Answer 1

Vamos à resolução do exercício proposto.

A questão quer saber para quais valores reais,não nulos e diferentes de $\frac{1}{2}$ do parâmetro a (a ∈ R,a ≠ 0; a ≠ $\frac{1}{2}$) as equações quadráticas $(1-2a)x^2-6ax-1=0$ e $ax^2-x+1=0$ têm pelo menos uma raiz comum; para solucionarmos o problema,analisaremos dois casos possíveis:

Primeiro caso

Vamos supor que todas as raízes de uma das equações quadráticas sejam também raízes da outra.Sabemos que se duas equações quadráticas possuem exatamente as mesmas soluções,elas serão iguais; supondo que todas as raízes de $(1-2a)x^2-6ax-1=0$ são também raízes de $ax^2-x+1=0$,com isso temos:

$(1-2a)x^2-6ax-1=ax^2-x+1$ ⇔

$(1-2a)=a$ ⇔ $a=\frac{1}{3}$

e

$-6a=-1$ ⇔ $a=\frac{1}{6}$

e

$-1=1\ (Absurdo!)$

Supondo que as equações sejam iguais (todas as soluções de uma delas são também soluções da outra),encontramos dois absurdos matemáticos,que são eles: $a=\frac{1}{3}\ e\ a=\frac{1}{6}\ (Absurdo!)$ e $-1=1\ (Absurdo!)$.Podemos concluir que as equações quadráticas jamais terão exatamente as mesmas soluções (pois supondo isso como verdade,encontramos dois absurdos matemáticos).

Segundo caso

Já que as equações quadráticas jamais terão as mesmas soluções (as duas soluções de uma delas jamais serão iguais às duas da outra),então vamos supor que elas tenham uma única raiz comum (pois é a única possibilidade que nos resta),ou seja,UMA solução de uma delas coincide com UMA solução da outra.Chamaremos de $k$ a solução comum das duas equações quadráticas,com isso temos:

$k$ é raiz de $(1-2a)x^2-6ax-1=0$ ⇔

$(1-2a)k^2-6ak-1=0$ (i)

e

$k$ é raiz de $ax^2-x+1=0$ ⇔

$ak^2-k+1=0$ (ii)

Perceba que $k$ é um número real que soluciona ambas as equações ,logo o discriminante de cada equação quadrática deve ser maior ou igual a zero (pois estamos supondo que tenha solução),ou seja: Δ ≥ 0.Analisaremos o discriminante de cada equação e vamos impor mais algumas restrições para o parâmetro real $a$ (além das que foram impostas no início).Calculado o Δ (delta) de cada uma,temos:

Δ de $(1-2a)x^2-6ax-1=0$ dever ser não negativo ⇔

$36a^2-4(1-2a)(-1)$ ≥ 0 ⇔

$36a^2+4(1-2a)$ ≥ 0 ⇔

$36a^2-8a+4$ ≥ 0

Sabemos que $36a^2-8a+4$ ≥ 0; ∀ $a$ ∈ R

e

Δ de $ax^2-x+1$ deve ser não negativo ⇔

$1-4a$ ≥ 0 ⇔

$1$ ≥ 4$a$ ⇔

$\frac{1}{4}$ ≥ $a$ ⇔

$a$ ≤ $\frac{1}{4}$

Com isso temos que $a$ ∈ R,$a$ ≠0,$a$ ≠ $\frac{1}{2}$; $a$ ≤ $\frac{1}{4}$.Igualando as expressões (i) e (ii),temos:

$(1-2a)k^2-6ak-1=ak^2-k+1$ ⇔

$(1-2a)k^2-ak^2=6ak-k+2$ ⇔

$k^2[(1-2a)-a]=k(6a-1)+2$ ⇔

$(1-3a)k^2-(6a-1)k-2=0$ ⇔ (equação quadrática na incógnita "k")

$k=\frac{1}{1-3a}$

ou

$k=-2$

Substituindo em (ii) os valores de $k$ fornecidos acima,encontraremos dois valores possíveis para o parâmetro real $a$,que são eles: $a=\frac{2}{9}$ ou $a=\frac{-3}{4}$.

Os valores do parâmetro real $a$ que fornecem pelo menos uma raiz comum entre as equações $(1-2a)x^2-6ax-1=0$ e $ax^2-x+1=0$ são: $a=\frac{2}{9}$ ou $a=\frac{-3}{4}$.

Abraços!!