Question

Quantas e quais são as retas determinadas por pares de pontos A, B, C e D, dois A dois distintos se:


a) A, B, e C são colineares b) A, B, C, e D não são coplanares

Answer 1

A) Se A B e C são colineares e distintos, A B e C pertencem a uma mesma reta mas o ponto D não está nesta reta. Isso significa que os pares distintos serão:

(A e D) (B e D) (C e D) (A e B) (B e C). Olha, agora estou em dúvida se (A e B) e (B e C) contam como uma reta ou como duas retas neste problema, uma vez que as retas determinadas pelos pontos (A e B) e (B e C) são coincidentes.

A resposta é, desse modo, 4 ou 5 retas. Mas como o enunciado apenas menciona que os pares de pontos devem ser dois a dois distintos, então vou considerar (A e B) e (B e C) como resultados diferentes. Portanto, 5 retas.

B)

Se A B C e D são pontos que não estão num mesmo plano, isso significa que podemos combiná-los dois a dois para formar retas distintas. A resposta a essa quantidade é o resultado da Combinação Simples de 4 pontos tomados 2 a 2:

$C 4,2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4*3*2!}{2!2!} = \frac{4*3}{2!} = \frac{4*3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

6 retas, portanto.