Question

Observe as tres primeiras linhas de um padrão, que continua nas linhas subsequentes.
1º Linha 1+2=1²+(1²+1)=3
2º Linha 4+5+6=2²+(2²+1)+(2²+2)=7+8
3º Linha 9+10+11+12=3²+(3²+1)+(3²+2)+(3²+3)=13+14+15
Na 30º linha desse padrão, o maior numero da soma em vermelho, indicada dentro do retângulo, sera igual a
(A) 929
(B)930
(C)959
(D)1029
(E)960

Answer 1

Perceba que a soma da primeira linha começa com 1², a soma da segunda linha começa com 2² = 4, a soma da terceira linha começa com 3² = 9.

Então, a soma da trigésima linha começará com 30².

Seguindo o raciocínio das demais linhas:

30ª linha

30² + (30² + 1) + (30² + 2) + ... + (30² + 30).

Perceba que podemos reescrever a soma acima da forma:

$31.30^2 + \frac{(1+30).30}{2}$ =

31.30² + 31.15 =

28365.

Perceba que em todas as linhas o primeiro número em vermelho é sucessor do último número da primeira soma.

Por exemplo, na primeira linha temos 1 + 2. O resultado da soma deu 3.

Na segunda linha temos 4 + 5 + 6. O resultado da soma começa com 7.

E assim por diante.

Logo, na 30ª linha temos:

30² + ... + (30² + 30) = 900 + ... + 930

Então, no retângulo da 30ª linha o primeiro número será 931.

Assim, utilizando a fórmula da soma dos termos de uma Progressão Aritmética:

$28365 = \frac{(931+an).30}{2}$

28365 = (931 + an).15

1891 = 931 + an

an = 960

Portanto, o maior número da soma em vermelho é 960.

Alternativa correta: letra e).