Question

Um produto tem função de demanda cujo modelo é y = 1000 - 0,5x² e a função custo total é CT(x)=400x + 4750. Nessas condições o preço de y que gera o lucro total máximo é dado por?

Answer 1

1)

Função demanda ---> y = 1000 - 0,5x²

Função receita ---> R = y * x = (1000 - 0,5x²)*x = 1000x - 0,5x³

R = - 0,5x³ + 1000x

Função custo total ----> CT(x)=400x + 4750

2)

Para encontrar o lucro máximo, precisamos igualar a receita marginal com o custo marginal.

Para achar a receita marginal, derivamos a receita:

R = - 0,5x³ + 1000x ---> R' = - 1,5x² + 1000

Para achar o custo marginal, derivamos o custo:

CT(x)=400x + 4750 ---> CT'(x) = 400

Igualando tais derivadas, obtemos:

- 1,5x² + 1000 = 400

- 1,5x² = - 600

x² = 600/1,5 = 400

x = √400 = 20

x = 20

3)

Para encontrar o preço y, substituímos o valor de x = 20 na função y = 1000 - 0,5x² . Desse modo, teremos:

y = 1000 - 0,5* (20)²

y = 1000 - 0,5*400 = 1000 - 200

y = 800 reais