Question

Como resolver o seguinte limite?

$\lim_{x \to \1} \frac{e^(x-1) - a^(x-1)}{x^2 - 1}$

Na minha visualização a equação apareceu estranha então escreverei: limite de x tendendo a 1 de e elevado a x menos 1 menos a elevado a x menos 1 sobre x ao quadrado menos 1

Answer 1

Bom dia

lim (e^(x - 1)/(x² - 1) - a^(x - 1)/(x² - 1) =

x-->1

lim (e^(x - 1)/(x² - 1) - lim (a^(x - 1)/(x² - 1)

x-->1                            x-->1

como as limites são do tipo 0/0 vamos aplicar a regra de Hospital

derivada e^(x - 1)/(x² - 1) = e^(x - 1)/2x para x = 1 temos 1/2

derivada a^(x - 1)/(x² - 1) = a^(x - 1)*ln(a)/2x para x = 1 temos ln(a)/2

nossa limite é (1 - ln(a))/2

Answer 2

Calcular o limite

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{e^{x-1}-a^{x-1}}{x^2-1}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\frac{e^{x-1}-a^{x-1}}{(x-1)\cdot (x+1)}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\frac{e^{x-1}-a^{x-1}}{x-1}\cdot \dfrac{1}{x+1}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\frac{a^{x-1}\cdot \Big(\frac{e^{x-1}}{a^{x-1}}-1\Big)}{x-1}\cdot \dfrac{1}{x+1}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}~a^{x-1}\cdot \frac{(e/a)^{x-1}-1}{x-1}\cdot \dfrac{1}{x+1}$

Faça a seguinte mudança de variável:

$x-1=t\quad\Longrightarrow\quad x=t+1$

e $t\to 0$ quando $x\to 1.$ Sendo assim, o limite fica

$\displaystyle=\lim_{t\to 0}~a^t\cdot \frac{(e/a)^t-1}{t}\cdot \dfrac{1}{(t+1)+1}\\\\\\ =\lim_{t\to 0}~a^t\cdot \frac{(e/a)^t-1}{t}\cdot \dfrac{1}{t+2}$

O limite do 2º fator é um dos limites exponenciais fundamentais:

$\displaystyle=\lim_{t\to 0}~a^t\cdot \lim_{t\to 0}~\frac{(e/a)^t-1}{t}\cdot \lim_{t\to 0}~\frac{1}{t+2}\\\\\\ =a^0\cdot \mathrm{\ell n}(e/a)\cdot \frac{1}{0+2}\\\\\\ =1\cdot \mathrm{\ell n}(e/a)\cdot \frac{1}{2}\\\\\\ =\frac{1}{2}\,\mathrm{\ell n}(e/a)\\\\\\ =\frac{1}{2}\,(\mathrm{\ell n}\,e-\mathrm{\ell n}\,a)$

$=\dfrac{1}{2}\,(1-\mathrm{\ell n}\,a)\quad\longleftarrow\quad \mathsf{resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)