Question

Determine a, b, c para que o polinômio T(x) = ax2 + 10 ax + bx^2 + bx + cx^2 + 4cx + 5a - b + c seja identicamente nulo. A resposta é: a = k, b = 2k, c = -3k com k pertencente aos reais.

Answer 1

O polinômio em questão:

T(x) = ax² + bx² + cx² + 10ax + bx + 4cx + 5a - b + c

Dessa maneira:

a + b + c = 0 (I)

10a + b + 4c = 0 (II)

5a - b + c = 0 (III)

O sistema é esse, creio que até aí você foi. Agora vamos raciocinar um pouco.

Isolando c de (III) vem:

5a - b + c = 0 ----> c = -5a + b (IV)

Substituindo (IV) em (I) teremos:

a + b + c = 0

a + b - 5a + b = 0

-4a + 2b = 0

-2a + b = 0 (V)

Com isso feito, vamos substituir (IV) também em (II):

10a + b + 4c = 0

10a + b + 4 * (-5a + b) = 0

10a + b - 20a + 4b = 0

-10a + 5b = 0

-2a + b = 0 (VI)

Perceba que a equação (V) e (VI) são idênticas e, portanto, somos levados a crer que não há uma solução possível e determinada. Na verdade, há muitas soluções! Porém, conseguimos concluir uma coisa:

-2a + b = 0 ----> 2a = b

Equação (IV):

c = -5a + b

c = -5a + 2a

c = -3a

Logo, achamos os coeficientes b e c em função de a.

Lógico, que a = a . Dessa forma, a = a , b = 2a e c = -3a

Como a é uma constante real qualquer, podemos chamar a de "k". Dessa forma, nada muda, e assim ficamos com:

a = k

b = 2k

c = -3k

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

T(x) = ax² + 10ax + bx² + bx + cx² + 4cx + 5a - b + c

T(x) = (a + b + c)x² + (10a + b+ 4c)x + 5a - b + c

Podemos montar o sistema:

• a + b + c = 0

• 10a + b + 4c = 0

• 5a - b + c = 0

Multiplicando a primeira equação por -1:

• a + b + c = 0 .(-1)

• 10a + b + 4c = 0

• 5a - b + c = 0

• -a - b - c = 0

• 10a + b + 4c = 0

• 5a - b + c = 0

Somando a primeira e a terceira equações membro a membro:

-a + 5a - b - b - c + c = 0 + 0

4a - 2b = 0

2a - b = 0

• Multiplicando a primeira equação por -4:

• a + b + c = 0 .(-4)

• 10a + b + 4c = 0

• 5a - b + c = 0

• -4a - 4b - 4c = 0

• 10a + b + 4c = 0

• 5a - b + c = 0

Somando as duas primeiras equações membro a membro:

-4a + 10a - 4b + b - 4c + 4c = 0

6a - 3b = 0

2a - b = 0

Logo, b = 2a

Substituindo em a + b + c = 0:

a + 2a + c = 0

3a + c = 0

c = -3a

Seja a = k. Portanto:

• a = k

• b = 2k

• c = -3k