Question

Assunto: Trigonometria (arco duplo)

Do alto de uma encosta íngreme de altura h, um guarda florestal G observa três focos de incêndio B, C e D, conforme a figura a seguir:
A altura H da encosta, em metros, corresponde a: (itens na imagem)

Answer 1

Precisamos de duas coisas:

tg x = (cateto oposto) / (cateto adjacente)

tg (x+y) = tg x + tg y / (1 - tg x*tg y)

Então vamos lá:

tg a = 30 / h

tg (a+b) = 80 / h

tg (a+a+b) = 120 / h

tg (a+a+b) = tg a + tg (a+b) / (1 - tga*tg (a+b)

tg(a+a+b) = (30/h + 80/h) / [1 - (30/h)*(80/h)]

tg(a+a+b) = 110/h / [1 - 2400/h²]

Como 1 = h²/h² vem:

tg(a+a+b) = 110/h / [ h²/h² - 2400/h²]

tg(a+a+b) = 110/h / [ (h²-2400)/h² ]

tg(a+a+b) = 110/h * [h² / (h²-2400)]

tg(a+a+b) = 110h / (h²-2400)

Mas também:

tg (a+a+b) = 120 / h

Igualando as expressões, teremos:

120 / h = 110h / (h²-2400)

12/h = 11h / (h² - 2400)

11h² = 12*(h² - 2400)

11h² = 12h² - 28800

12h² - 11h² = 28800

h² = 28.800

h = √28.800

h = 120√2 m