Question

Verifique se os vetores são coplanares u=(2,3,4), v=(1,4,3) e w=(2,5,4).

Answer 1

( u, v, w) = produto misto, se o determinante for igual a 0 eles são coplanares 
se for  diferente de 0 não são coplanares.

para fazer o produto misto basta fazer o det:



det     2    3   4
         1    4   3 
         2    5    4       = det  -4 logo não é coplanar

Answer 2

✅ Após ter calculado o produto misto entres os referidos vetores concluímos que os vetores:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:Coplanares \:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os vetores dados:

        $\Large\begin{cases}\vec{u} = (2, 3, 4)\\\vec{v} = (1, 4, 3)\\\vec{w} = (2, 5, 4) \end{cases}$

Dizemos que três vetores em R³ são coplanares se, e somente se, o produto misto desses vetores for igual a "0". Caso contrário, não são coplanares.

Calculando o produto misto entre os vetores, temos:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\right] = \vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = \begin{vmatrix}2 & 3 & 4\\1 & 4 & 3\\2 & 5 & 4 \end{vmatrix}\begin{matrix}2 & 3\\1 & 4\\2 & 5 \end{matrix} \end{gathered}$

       $\large\displaystyle\begin{gathered}= 2\cdot4\cdot4 + 3\cdot3\cdot2 + 4\cdot1\cdot5 - 3\cdot1\cdot4 - 2\cdot3\cdot5 - 4\cdot4\cdot2 \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 32 + 18 + 20 -12 - 30 - 32 \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= -4 \end{gathered}$

Portanto, o resultado do produto misto é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\right] = -4 \end{gathered}$

Se:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\right]\neq0 \end{gathered}$

✅ Então, os respectivos vetores:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:Coplanares \end{gathered}$

   

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