Determine a área e o perímetro de um triângulo retângulo que possui:
a) O lado oposto ao ângulo de 30º graus medindo 9m
b)8m de hipotenusa e um ângulo de 45º
c) Um ângulo de 60º e 40 dm de hipotenusa
Respostas
a) O lado oposto ao ângulo de 30º graus medindo 9m
Baseando-se nisso, utilizando o seno de 30º (que é 1/2), podemos calcular sua hipotenusa:
sen 30º = cat oposto / hipotenusa
1/2 = 9 / hip
1/2 hip = 9
hip = 9 * 2 = 18 m
Com o cosseno de 30º (√3/2), calculamos o cateto adjascente:
cos 30º = cat adj / hip
√3/2 = cat adj / 18
18√3/2 = cat adj
cat adj = 9√3 m
Perímetro:
hip + cat adj + cat op = p
p = 18 + 9√3 + 9
p = 27 + 9√3 m
Área:
b*h/2 = a
a = 9 * 9√3 / 2
a = 81√3/2 m²
b) 8m de hipotenusa e um ângulo de 45°
como é um triângulo retângulo e possui um ângulo de 45, é um isósceles também (os lados, tirando a hipotenusa, são iguais). Usando seno de 45° (√2/2) para encontrar um lado:
sen 45° = cat op / hip
√2/2 = cat op / 8
cat op = 4√2 m
Com isso sabemos também que o cat adjascente é 4√2.
Perímetro:
p = cat op + cat adj + hip
p = 4√2 + 4√2 + 8
p = 8 + 8√2 m
Área:
a = b*h/2
a = 4√2*4√2/2
a = 16*2/2
a = 16 m²
c) Um ângulo de 60° e 40 dm de hipotenusa
Vou transformar esse 40 dm em metro, ficando 4 m.
Utilizando o seno de 60° (√3/2), vamos achar o cat oposto:
sen 60° = cat op / hip
√3/2 = cat op / 4
cat op = 4*√3/2
cat op = 2√3 m
Usando cos de 60° (1/2), vamos achar o cat adjascente:
cos 60° = cat adj / hip
1/2 = cat adj / 4
cat adj = 4*1/2
cat adj = 2 m
Perímetro:
p = cat op + cat adj + h
p = 2√3 + 2 + 4
p = 6 + 2√3 m
Área:
a = b*h/2
a = 2√3 * 2 /2
a = 2√3 m²
Mariihmendes,
Para poder calcular o perímetro de um triângulo, você precisa conhecer a medida de seus três lados.
Para calcular a sua área, a base e a altura. E, em um triângulo retângulo, um cateto pode ser considerado como a base e o outro como a altura.
Então, vamos lá:
a) o lado oposto ao ângulo de 30º é um cateto (9 m) e o lado adjacente a este ângulo é o outro cateto (x). Então, você pode aplicar a função tangente para obter x, pois:
tangente = cateto oposto ÷ cateto adjacente
tg 30º = 9 m ÷ x
x = 9 m ÷ tg 30º
x = 9 ÷ 0,577
x = 15,6 (cateto adjacente ao ângulo de 30º)
Para obter a medida da hipotenusa (y), uma função trigonométrica, ou o Teorema de Pitágoras:
y² = 15,6² + 9²
y² = 243,36 + 81
y = √324,36
y = 18,00 m (medida da hipotenusa)
O perímetro, então, é igual a:
9 + 15,6 + 18 = 42,6 m
A área de um triângulo (A) é igual à metade do produto de sua base pela altura e, como vimos lá em cima, os catetos são a base e a atura:
A = 9 × 15,6 ÷ 2
A = 70,2 m²
R.: O perímetro mede 42,6 m e a área 70,2 m²
b) Da mesma maneira, precisamos obter a medida dos 3 lados.
Se um ângulo agudo é igual a 45º, o outro também será (a soma deve ser igual a 180º e um deles mede 90º) e então o triângulo além de retângulo é isósceles e os 2 catetos têm a mesma medida.
Aqui, tanto faz usar a função seno como a função cosseno:
cos 45º = cateto adjacente ÷ hipotenusa
0,707 = cateto adjacente ÷ 8 m
cateto adjacente = 0,707 × 8 m
cateto adjacente = 5,656 m = cateto oposto
Então, temos:
Área = 5,656 × 5,656 ÷ 2
Área = 16,00 m²
Perímetro = 5,656 + 5,656 + 8
Perímetro = 19,312 cm
c) Conhecemos um ângulo e a hipotenusa. Para obter os catetos (x e y), vamos usar as funções seno e cosseno:
sen 60º = cateto oposto ÷ hipotenusa
sen 60º = x ÷ 40 dm
x = 0,866 × 40 dm
x = 34,64 dm (cateto oposto ao ângulo de 60º)
cos 60º = y ÷ hipotenusa
0,5 = y ÷ 40
y = 0,5 × 40
y = 20 dm (cateto adjacente ao ângulo de 60º)
Então, temos:
Área:
34,64 × 20 ÷ 2 = 346,4 dm²
Perímetro:
40 + 34,64 + 20 = 94,64 dm