Question

Ângulo é um assunto estudado pela geometria no geral e na geometria analítica não é diferente, ou seja, na geometria analítica estudamos ângulos entre dois vetores. Além de ângulo entre vetores, estudamos também ângulo entre duas retas, entre dois planos e entre plano e reta. Nesses casos usamos seus vetores diretores para as retas ou normal para os planos. Em todos os casos podemos usar o produto interno para calcular o ângulo entre dois vetores ou calcular algo que se refere ao ângulo entre dois vetores. A reta r.{x-3/3=y/_4=x+1/5 forma como plano pi:2x-y+7z_1=0 um ângulo ○.
Determine o valor de ○.

Answer 1

A reta é r: {$\frac{x-2}{3}=- \frac{y}{4} = \frac{z+1}{5}$ e o plano é 2x - y + 7z - 1 = 0.

Primeiramente, temos que reescrever a equação da reta.

Para isso, considere que t é o parâmetro. Assim:

x - 2 = 3t ∴ x = 2 + 3t

-y = 4t ∴ y = -4t

z + 1 = 5t ∴ z = -1 + 5t

Então, temos que o vetor direção da reta é v = (3,-4,5).

Sendo 2x - y + 7z - 1 = 0, então o vetor normal é u = (2,-1,7).

Para calcular o ângulo entre a reta e o plano precisamos calcular o ângulo entre os vetores u e v através da fórmula:

$cos(\theta)= \frac{<u,v>}{||u||||v||}$

Sendo assim:

<u,v> = 45

||u|| = √54 = 3√6

||v|| = √50 = 5√2

Logo:

$cos(\theta) = \frac{45}{3\sqrt{6}.5\sqrt{2}} = \frac{45}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Assim, θ = 30°.

Portanto, o ângulo entre a reta e o plano é igual a 90 - 30 = 60°.