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Olá, Vo74715!
A sua questão é sobre Equações de Segundo Grau.
Uma equação do segundo grau tem como fórmula geral: ax² + bx + c = 0.
Normalmente, para se resolver uma equação desse tipo, usamos a fórmula de Báskara, através da fórmula que coloquei em anexo para você.
Porém, quando o valor de a, na fórmula geral, é igual a 1, podemos calcular a soma e o produto das raízes de uma forma mais simples e rápida, sem precisarmos resolver a equação do segundo grau pela fórmula de Báskara.
Para esses casos, a soma das raízes (S) da equação será igual ao valor de b multiplicado por (- 1) e o produtos das raízes (P) da equação será igual ao valor de c. Assim, podemos escrever a fórmula geral da equação do segundo grau de outra forma:
Considerando a = 1,
x² - Sx + P = 0
Então, escrevendo o que discutimos agora, temos as seguintes igualdades:
S = - b (para a soma das raízes) e P = c (para o produto das raízes).
Por exemplo:
Na equação x² + 2x + 4, determine a soma e o produto de suas raízes.
Considerando a fórmula geral da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, temos que:
a = 1
b = 2
c = 4
Então, aplicando as igualdades S = - b e P = c, temos que a soma das raízes é igual a - 2 e o produto das raízes é igual a 4, já que, substituindo o valor de b e c encontrados, temos:
S = - 2
P = 4
a) x² + 12x - 189 = 0
Nessa equação, considerando a fórmula geral da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, temos que:
a = 1
b = 12
c = - 189
Substituindo o valor de b e c nas igualdades S = - b e P = c, temos que:
Soma das raízes: S = - 12
Produto das raízes: P = - 189
b) - x² - 4x + 60 = 0
Nessa equação, considerando a fórmula geral da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, temos que:
a = - 1
Como a está negativo, temos primeiro que deixar o valor de a positivo. Para isso, temos que multiplicar toda a equação por (- 1), dessa forma:
- x² - 4x + 60 = 0 · (- 1)
x² + 4x - 60 = 0
Agora, considerando a fórmula geral da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 na equação acima, temos que:
a = 1
b = 4
c = - 60
Substituindo o valor de b e c nas igualdades S = - b e P = c, temos que:
Soma das raízes: S = - 4
Produto das raízes: P = - 60
c) x² - 6x - 7 = 0
Nessa equação, considerando a fórmula geral da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, temos que:
a = 1
b = - 6
c = - 7
Substituindo o valor de b e c nas igualdades S = - b e P = c, temos que:
Soma das raízes: S = 6
Produto das raízes: P = - 7
d) x² - 7x - 18 = 0
Nessa equação, considerando a fórmula geral da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, temos que:
a = 1
b = - 7
c = - 18
Substituindo o valor de b e c nas igualdades S = - b e P = c, temos que:
Soma das raízes: S = 7
Produto das raízes: P = - 18
e) 4x² + 20x = 0
Nessa equação, considerando a fórmula geral da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, temos que:
a = 4
Como a está diferente de zero, temos primeiro que deixar o valor de a igual a 1. Para isso, temos que dividir toda a equação por 4, dessa forma:
4x² + 20x = 0 ÷ (4)
x² + 5x = 0 → lembrando que = 1 e que
= 5
Agora, considerando a fórmula geral da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 na equação acima, temos que:
a = 1
b = 5
c = 0 → quando não temos o valor do coeficiente, consideramos ele igual a zero
Substituindo o valor de b e c nas igualdades S = - b e P = c, temos que:
Soma das raízes: S = - 5
Produto das raízes: P = 0
Espero ter te ajudado! Qualquer dúvida, consulte a plataforma novamente.
Abraços!
Equação: x² + 12x - 189 = 0
a = 1...........b = 12..............c = -189
Soma e produto
S (soma das raízes) = - b / a = - 12 / 1 = - 12
P(produto das raízes) = c / a = - 189/1 = - 189
189 = 3 . 3 . 3 . 7.,......=> 9 . 21 = 189
As raízes são: 9 e - 21, pois 9 + (- 21) = - 12.....e.....9 . (- 21) = - 189
Resposta: - 21 e 9 são as raízes.
S = {- 21, 9}