Question

Em uma festa de confraternização dos alunos do 9ano do colégio Épsilon foram trocados 435 abraços apenas entre os alunos presentes. Sabe-se que cada aluno abraçou o colega uma vez e que cada aluno abraçou todos os outros. o numeros de alunos que compareceram a essa festa foi de:a)30b)35c)40d)45

Answer 1

Vamos pensar o seguinte:

A pessoa A abraçar a pessoa B é o mesmo que a pessoa B abraçar a pessoa A.

Então, a ordem não é importante.

Se a ordem não é importante, então utilizaremos a Combinação:

$C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Considere que n é a quantidade de alunos. Como são duas pessoas envolvidas no abraço, então k = 2. E o resultado é igual a 435, ou seja,

$\frac{n!}{2!(n-2)!} = 435$

$\frac{n.(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!} = 435$

n(n - 1) = 435.2

n² - n - 870 = 0

Utilizando a fórmula de Bháskara:

Δ = (-1)² - 4.1.(-870)

Δ = 1 + 3480

Δ = 3481

$n = \frac{1+-\sqrt{3481}}{2}$

$n = \frac{1+-59}{2}$

Assim,

$n' = \frac{1+59}{2} = 30$

$n'' = \frac{1-59}{2} = -29$

Portanto, estavam presentes na festa 30 alunos.

Alternativa correta: letra a).