Question

O ponto C(-3, -2) é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos coordenados, escreva a equação da elipse.

Answer 1

Olá, Porcelain.

Sabemos que o centro da elipse está no ponto C = (-3,-2), que a elipse tangencia os eixos coordenados e que os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos coordenados.

Podemos perceber, com base nas informações dadas, que o maior eixo de simetria da elipse é paralelo ao eixo x, e o eixo menor é paralelo ao eixo y.

Sejam os pontos A₁ e A₂ os pontos extremos do maior eixo de simetria da elipse, sabemos que seu comprimento é a distância entre os pontos A₁ e A₂. Além disso, sabemos que:

A₁A₂ = 2a

O ponto A₁ é (-6,-2) e o ponto A₂ é (0,-2). O comprimento do seguimento A₁A₂ é calculada por:

$d = \sqrt{(0-(-6))^{2} + (-2 -(-2))^{2}}$

$d = \sqrt{6^{2}}$

$d = 6$

Temos então que:

$6 = 2a$

$a = \frac{6}{2}$

$a = 3$

Da mesma forma, sejam os pontos B₁ e B₂ os pontos extremos do menor eixo de simetria da elipse, temos que o seu comprimento é a distância entre os pontos B₁ e B₂. Além disso, temos que:

B₁B₂ = 2b

Seja B₁ = (-3,0) e B₂ = (-3,-4), temos:

$d = \sqrt{(-3-(-3))^{2}+(-4-0)^{2}}$

d = $\sqrt{16}$

$d = 4$

Temos então que:

$4 = 2b$

$b = \frac{4}{2}$

$b = 2$

Agora, com os valores de a e b calculados e as coordenadas do centro, podemos montar a equação da elipse. Sejam as coordenadas do centro (x₀,y₀) = (-3,-2), temos a seguinte equação:

$\frac{(x-x0)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y0)^{2}}{b^{2}} = 1$

$\frac{(x-(-3))^{2}}{3^{2}} + \frac{(y-(-2))^{2}}{2^{2}} = 1$

A equação da elipse é:

$\frac{(x+3)^{2}}{9} + \frac{(y+2)^{2}}{4} = 1$

Veja a imagem em anexo.

Espero ter ajudado.