Question

Explique passo a passo como esboçar o gráfico da seguinte função : f(x) = |x - 3| + |x + 2|

Answer 1

Olá Lucas!

Para construir o gráfico de uma função modular, aplicamos o conceito de módulo... Veja:

Da definição de módulo, temos:

$\mathsf{|x| = \begin{cases}\mathsf{x, \quad se \ x \geq 0} \\ \mathsf{- x, \ se \ x < 0} \end{cases}}$

Do enunciado,

$\mathsf{|x - 3| = \begin{cases}\mathsf{x - 3, \quad se \ x \geq 3} \\ \mathsf{- x + 3, \ se \ x < 3} \end{cases}}$

E,

$|x + 2| = \begin{cases}\mathsf{x + 2, \quad se \ x \geq - 2} \\ \mathsf{- x - 2, \ se \ x < - 2} \end{cases}$

Bom! até aqui já podemos esboçar o gráfica da função f nas extremidades, isto é, para $\mathbf{x \geq 3}$ e $\mathbf{x < - 2}$; afinal, trata-se dos intervalos em que x assume os maiores e os menores valores, respectivamente.

Ademais, devemos analisar o gráfico de f quando $\mathbf{x < 3}$ e $\mathbf{x \geq - 2}$. Ora, vimos que:

$\mathbf{|x - 3| = - x + 3, \ se \ x < 3}$

E,

$\mathbf{|x + 2| = x + 2, \ se \ x \geq - 2}$

Daí, naquele intervalo, teremos:

$\\ \mathsf{f(x) = |x - 3| + |x + 2|} \\\\ \mathsf{f(x) = (- x + 3) + (x + 2)} \\\\ \mathsf{f(x) = 5}$

Por fim,

$\mathsf{\bullet \quad \forall x \in \mathbb{R}; \ x \geq 3 \Rightarrow f(x) = x - 3}$

$\mathsf{\bullet \quad \forall x \in \mathbb{R}; - 2 \leq x < 3 \Rightarrow f(x) = 5}$

$\mathsf{\bullet \quad \forall x \in \mathbb{R}; x < - 2 \Rightarrow f(x) = - x - 2}$

Obs.: o gráfico está fora de escala!