Question

Dadas as seguintes equações geral das retas u: 2ky- (k+3)x +1=0 e v: kx+ 5ky-3=0 determine para qual(is) valor(es) real(is) de k,u e v serão perpendiculares. Gabarito: K=1/3

Answer 1

Para serem perpendiculares, o produto dos. proficientes angulares de u e de v deve ser igual a -1 , ou seja,

m(u) . m(v) = -1

Para encontrar os coeficientes angulares de cada reta, temos que deixar na forma reduzida

u: 2ky-(k+3)x+1=0

$2ky-(k+3)x+1=0 \\ 2ky = (k-3)x - 1=0 \\ y = \frac{(k + 3)}{2k} x - \frac{1}{2k}$

Assim, o coeficiente angular de u, m(u) é

$m(u) = \frac{(k + 3)}{2k}$

v: kx+ 5ky-3=0

$kx+ 5ky-3=0 \\ 5ky = 3 - kx \\ 5ky = \frac{3}{5k} - \frac{k}{5k} x$

Assim, o coeficiente angular de v, m(v) é

$m(v) =- \frac{k}{5k} = - \frac{1}{5}$

Temos que

m(u) . m(v) = -1

Então,

$\frac{(k + 3)}{2k} .( - \frac{1}{5} ) = - 1 \\ \frac{(k + 3)}{2k} = 5 \\ k + 3 = 10k \\ k - 10k = - 3 \\ - 9k = - 3 \\ k = \frac{ - 3}{ - 9} \\ \boxed{\boxed{k = \frac{1}{3}}}$