Question

Determine o conjunto verdade da equação: raiz quadrada de X-1 = X-7 (raiz quadrada apenas no "x-1")

Answer 1

Geralmente, o artifício utilizado para resolver equações irracionais é elevar ambos os membros da equação ao quadrado:

$\sqrt{x-1} = x - 7 (\sqrt{x-1})^2 = (x-7)^2 x - 1 = x^2 -14x + 49$

x - 1 = x² -14x + 49

x² - 14x - x + 49 + 1 = 0

x² - 15x + 50 = 0

Δ = (-15)² - 4 * 1 * 50 = 225 - 200 = 25

√Δ = √25 = 5

x₁ = -(-15) + 5 / 2 = (15+5) / 2 = 20 / 2 = 10

x₂ = -(-15) - 5 / 2 = (15-5) / 2 = 10 / 2 = 5

Solução => S = {5,10}

Answer 2

Olá!

Temos:

$\sqrt{x - 1} = x - 7$

Basta elevar ao quadrado ambos os membros da equação, assim:

$( \sqrt{x - 1} )^{2} = (x - 7)^{2}$
Para o segundo membro:

"O quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo".

Em relação ao primeiro membro, como o índice da raiz é igual ao índice do expoente, elimina-se ambos.

$x - 1 = {x}^{2} + 2 \times x \times ( - 7) + ( - 7)^{2} \\ x - 1 = {x}^{2} - 14x + 49 \\ - {x}^{2} + x + 14x - 1 - 49 = 0 \\ - {x}^{2} + 15x - 50 = 0$

Agora aplicando bháskara:

$|d| = (15)^{2} - 4 \times ( - 1) \times ( - 50) \\ |d| = 225 - 200 \\ |d| = 25 \\ \sqrt{ |d| } = 5$

Agora vamos pras raízes:

$x = \frac{ - 15 | + - | 5}{2 \times ( - 1)} \\ \\ x1 = \frac{ - 15 + 5}{ - 2} \\ \\ x1 = \frac{ - 10}{ - 2} = 5 \\ \\ x2 = \frac{ - 15 - 5}{ - 2} = \frac{ - 20}{ - 2} = 10$

Verificando as igualdades:

I. 5:

$\sqrt{x - 1} = x - 7 \\ \sqrt{5 - 1} = 5 - 7 \\ \sqrt{4} = - 2$
A raiz de 4 pode ser tanto -2 como 2, mas como os membros da equação estão com sinais opostos, FALSA.

II. 10:

$\sqrt{x - 1} = x - 7 \\ \sqrt{10 - 1} = 10 - 7 \\ \sqrt{9} = 3 \\ 3 = 3$
Verdade.

Resposta:

※ S = {10}

Espero ter ajudado!