Question

um cilindro maciço de raio 10cm e massa 12kg parte do repouso e rola para baixo uma distância L = 6, 0m sem deslizar, em um teto inclinado de um ângulo θ = 300 . (a) Qual é a velocidade angular de cilindro em relação ao seu centro ao deixar o teto? (b) A borda do teto está a uma altura H = 5, 0m. A que distância horizontal da borda do teto o cilindro atinge o chão?

Answer 1

Olá!

Para resolver esse problema, precisamos de um esquema que segue anexo.

Como dados do exercício, temos: raio r= 10 cm= 0,1 m, massa m= 12 kg, velocidade inicial Vo= 0 m/s, distância L= 6 m, ângulo θ= 30°, borda do teto está à uma altura de H= 5 m.

a) Deseja-se saber a velocidade angular do cilindro em relação ao seu centro, ao deixar o teto.

Para isso, vamos aplicar o princípio da conservação da energia mecânica do sistema aos pontos A e B (observe a figura), sendo que em A temos a energia mecânica sobre a forma de energia potencial gravitacional (U) e em B temos sobre as formas de energia potencial gravitacional (U) e energia cinética (K):

Ea = Eb

Ka + Ua = Kb + Ub

0 + m * g * (h + h') = 1/2 * m * $Vb^{2}$ + 1/2 * I *$omega b^{2}$ + m * g * h

m * g * h' = m * $Vb^{2}$ + I *$omega b^{2}$

2 * m * g * d * sen θ = m * $omega b^{2}$ * $r^{2}$ + $\frac{m*r^{2}}{2}$ * $omega b^{2}$

2 * g * d * sen θ = $\frac{3*r^{2}}{2}$ * $omega b^{2}$

$omega b^{2}$ = $\frac{4*g*d*sen angulo}{3*r^{2}}$

ωb= $\frac{\sqrt{4/3 * g * d* sen angulo}}{r}$

onde g é aceleração da gravidade 10 m/$s^{2}$, d= 6 m, ângulo= 30° e r= 0,1 m.

ωb= $\frac{\sqrt{4/3 * 10 * 6* sen 30}}{0,1}$

ωb= 63,25 rad/s

b) Para achar a que distância horizontal, da borda do teto, o cilindro atinge o chão, vamos analisar com as fórmulas do espaço em relação aos eixos x e y, sendo que em x temos movimento uniforme e em y movimento uniformemente variado.

Em x:

x = xo + vx * t

x = 0 - vb * cos θ * t

t = $\frac{-x}{vb * cos angulo}$

Em y:

y-y0= vy * t + 1/2 ay * $t^{2}$

0 - h= -vb * sen θ * t - 1/2 * g * $t^{2}$

Substituindo a expressão obtida em x na expressão de y:

h = 1/2 * g * $(\frac{-x}{vb * cos angulo})^{2}$ + vb * sen θ * $(\frac{-x}{vb * cos angulo})$

h= $\frac{g*x^{2}}{2*vb^{2}*(cos angulo)^{2}}$ - x * tg θ

Como vb = ωb * r, temos:

h= $\frac{g*x^{2}}{2*(omega b)^{2}*r^{2}*cos^{2}}$ - x * tg θ

h= $(\frac{g}{2*(omega b)^{2}*r^{2}*cos^{2}})$ *$x^{2}$ - (tg θ) * x -h = 0

Agora é só achar as raízes da equação do segundo grau:

a= $(\frac{g}{2*(omega b)^{2}*r^{2}*cos^{2}})$ = $(\frac{10}{2*(63,25)^{2}*0,1^{2}*cos30^{2}})$

b= - (tg θ)= - (tg 30)

c= -h= -5

Δ= $(-tg 30)^{2}$ - 4 * $(\frac{10}{2*(63,25)^{2}*0,1^{2}*cos30^{2}})$ * (-5)

Δ= 1/3 + 3,332864649

Δ= 3,666197982

x= $\frac{tg (30) +/- \sqrt{3,666197982}}{2* 0,1666432325}$

x1= 6,322353536

x2= -5,167652998

De acordo com o referencial adotado, a coordenada x onde a esfera toca o solo é negativa. Portanto, a distância alcançada pela bola na queda do telhado vale 5,17 metros, aproximadamente.