um teatro tem 448 lugares distribuídos da seguinte maneira na primeira fila a 13 poltronas na segunda 15 na terça-feira 17 e assim sucessivamente até completar nas filas determine o número total de fitas de teatro
Respostas
Vamos lá.
Veja, Dani, que a resolução parece simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Temos a seguinte questão: um teatro tem 448 lugares distribuídos da seguinte maneira: na primeira fia há 13 poltronas; na segunda fila há 15 poltronas; na terceira fila há 17 poltronas e assim sucessivamente até completar as filas. Pede-se para determinar o número total de filas desse teatro.
ii) Note que a questão é uma PA (Progressão Aritmética), cujo primeiro termo é igual a "13" , cuja razão é igual a "2" (pois o número de poltronas aumenta de duas em duas unidades a cada fila). A conformação dessa PA é esta:
(13; 15; 17; ........; a ̪) .
iii) Note que foi dado que esse teatro tem, no total, 448 lugares. Então a soma dos termos da PA acima deverá dar exatamente igual a 448.
Note que a soma dos "n" primeiros termos de uma PA é dada assim:
S ̪ = (a₁ + a ̪ )*n/2
Na fórmula acima "S ̪ " é a soma dos "n" primeiros termos da PA. Como a PA tem 448 lugares, então substituiremos "S ̪" por "448". Por sua vez, substituiremos "a₁" por "13", que é o valor do primeiro termo da PA. Repetem-se os valores de "a ̪ " e de "n" porque ainda não sabemos quais seus valores. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:
448 = (13 + a ̪ )*n/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*448 = (13 + a ̪ )*n --- efetuando o produto indicado, temos:
896 = (13 + a ̪ )*n . (I)
iv) Agora vamos aplicar a fórmula do termo geral de uma PA, que é dada assim:
a ̪ = a₁ + (n-1)*r
Na fórmula acima substituiremos "a₁" por "13", que é o valor do primeiro termo e substituiremos "r" por "2" que é o valor da razão da PA. Repetem-se os termos "a ̪ " e "n" porque ainda não sabemos os seus valores. Assim:
a ̪ = 13 + (n-1)*2 ----- desenvolvendo, teremos:
a ̪ = 13 + 2n - 2 ---- ordenando o 2º membro, ficamos:
a ̪ = 2n + 13-2 ------ como "13-2 = 11", teremos:
a ̪ = 2n + 11 . (II)
Veja que encontramos que o valor de "a ̪ " é igual a "2n+11", conforme estamos vendo aí em cima na expressão (II).
iv) Agora vamos na expressão (I) e, nela, vamos substituir "a ̪ " por "2n+11", conforme estamos vendo na expressão (II). Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:
896 = (13 + a ̪ )*n
Como já vimos, conforme a expressão (II), que "a ̪ " é igual a "2n+11", então vamos substituir "a ̪ " por esse valor. Fazendo isso, teremos:
896 = (13 + 2n+11)*n ----- ordenando o que está dentro dos parênteses, temos:
896 = (2n + 13+11)*n ----- como "13+11 = 24", teremos:
896 = (2n + 24)*n ----- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos:
896 = 2n² + 24n ---- passando "896" para o 2º membro, temos:
0 = 2n² + 24n - 896 ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:
2n² + 24n - 896 = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que iremos ficar apenas com:
n² + 12n - 448 = 0 ------ se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:
n' = -28 <--- raiz descartada, pois o número de filas não é negativo.
n'' = 16 <--- raiz válida.
Assim, o número total de filas será de:
16 filas <--- Esta é a resposta. Ou seja, o teatro tem 16 filas.
Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver quantas poltronas terá a 16ª fila. Para isso, vamos na expressão (II), que é esta:
a ̪ = 2n + 11 ----- substituindo-se "n" por "16, teremos:
a₁₆ = 2*16 + 11
a₁₆ = 32 + 11
a₁₆ = 43 <---- Este é o número de poltronas da 16ª fila.
E, também ainda por mera curiosidade, então a PA da sua questão terá a seguinte conformação, quando colocarmos todos os seus 16 termos:
(13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33; 35; 37; 39; 41; 43)
Se você quiser, poderá ter o trabalho de somar todos esses termos e vai verificar que vai dar exatamente 448 poltronas (ou lugares).
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.