Question

Resolva em R a inequação: |x² - 4| ≤ |x² - 2x|

Solução: S = {x € R | x ≤ -1 ou x = 2}

Answer 1

Então, temos uma desigualdade entre dois módulos.

Apenas algebricamente, não conseguimos solucionar esse problema. Precisamos construir os gráficos de cada função modular e, em seguida, analisar o comportamento das duas funções para observar quando e quem é menor ou igual que a outra num dado intervalo.

Passo 1: Construir o gráfico de y = x² - 4

Suas raízes são -2 e 2 e o ponto de interseção no eixo y é (0,-4)

Passo 2: Construir o gráfico de y = |x² - 4|

Suas raízes são -2 e 2 e o ponto de interseção no eixo y passará a ser (0,4)

Passo 3: Construir o gráfico de y = x² - 2x

Suas raízes são 0 e 2 e o ponto de interseção no eixo y é (0,0).

Seu vértice é V (1,-1)

Passo 4: Construir o gráfico de y = |x² - 2x|

Suas raízes são 0 e 2 e o ponto de interseção no eixo y é (0,0).

Seu vértice passará a ser V' (1,1)

Passo 5: Representar as duas funções modulares em um mesmo plano cartesiano.

Dessa forma, observamos que:

|x² - 4| = |x² - 2x| para x = -1 ou x = 2

|x² - 4| > |x² - 2x| para -1 < x < 2 ou x > 2

|x² - 4| < |x² - 2x| para x < -1

O problema pede |x² - 4| ≤ |x² - 2x| e, portanto:

Solução = S = {x ∈ R | x ≤ -1 ou x = 2}