Question

(IME) Considere uma elipse e uma hipérbole centradas
na origem, O de um sistema de coordenadas cartesianas, com
eixo focal coincidente com o eixo Ox. Os focos da elipse são os
vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os vértices da
elipse. Dados os eixos da elipse como 10 cm e
20/3 cm, determine as equações das parábolas, que passam pelas intersecções da elipse e da hipérbole e são tangentes ao eixo OY na
origem.

Answer 1

Boa tarde!

Elipse ⇒ $\frac{x^{2}}{100} + \frac{9y^{2}}{400} = 1$

$100 = \frac{400}{9} + C^{2}_{e}$ ⇒ $C_{e} = \frac{10\sqrt{5}}{3}$

Focos da elipse ⇒ $(\frac{10\sqrt{5}}{3} ,0)$ e $(-\frac{10\sqrt{5}}{3} ,0)$ ≡ vértices da hipérbole

Vértices da elipse ≡ foco da hipérbole = $(-10,0)$ e $(10,0)$

Hipérbole: $a_{h} = \frac{10\sqrt{5}}{3}$ ; $c_{h} = 10$

$c^{2}_{h} = a^{2} _{h} + b^{2}_{h}$ ⇒ $b_{h} = \frac{20}{3}$

Equação. Hipérbole ⇒ $\frac{9x^{2}}{500} - \frac{9y^{2}}{400} = 1$

Hipérbole ∩ Elipse ⇒ $\left \{ {{\frac{9x^{2}}{500}-\frac{9y^{2}}{400}=1} \atop {\frac{x^{2}}{100}+\frac{9y^{2}}{400}= 1}} \right.$

∴

Primeira: $(\frac{10\sqrt{35}}{7} ; \frac{20\sqrt{14}}{21} )$

Segunda: $(\frac{10\sqrt{35}}{7} ; \frac{-20\sqrt{14}}{21})$

Terceira: $(-\frac{10\sqrt{35}}{7} ; \frac{20\sqrt{14}}{21} )$

Quarta: $(\frac{-10\sqrt{35}}{7} ; \frac{-20\sqrt{14}}{21})$

Parábolas tangentes a Oy na origem ⇒ $y^{2} = 2p.x$

Veja então os casos:

1º caso: Parábola passa por 1 e 2 ⇒ $\frac{800}{63} = 2.p.10\frac{\sqrt{35}}{7}$

$2p = \frac{16\sqrt{35}}{63}$

2º Caso: Para a parábola que passa por 3 e 4, o raciocínio é análogo.

Logo adequando a equação para P, tem-se:

p ⇒ $+- \frac{1}{2} *\frac{16\sqrt{35}}{63}.x = y^{2}$