Question

(UDESC 2010)Dividindo o polinômio p(x) por d(x) = x² + 1, encontram-se o quociente q(x) = x + 3 e o resto r(x) = -7x - 11. Então a soma de todas as soluções da equação p(x) = 0 é igual a:A) -3B) -1C) 8D) 16E) 4

Answer 1

Olá!

Se ao dividir um polinômio p(x) por o d(x)= x² + 1, encontra-se o quociente q(x) = x + 3 e o resto r(x) = -7x - 11, podemos encontrar o p(x) que é o dividendo, multiplicando o quociente pelo divisor e somando com o resto:

(x+3) * (x² + 1) + (-7x - 11)

$x^{3} +3x^{2} +x+3$ -7x -11

$x^{3} +3x^{2} -6x-8$ = p(x)

Então, para achar as possíveis raízes quando p(x)=0, podemos utilizar o Teorema de Raízes Racionais, montando uma fração P/q, onde "P" são todos os valores que são divisores do coeficiente "d" e "q" são todos os divisores de "a", lembrando que a=1, b=3, c=-6 e d=-8.

Logo, P são divisores de -8 e q são divisores de 1

P/q= (1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8) / (1, -1)

Possíveis raízes: 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8 e -8.

Agora para confirmar quais dessas são mesmo raízes, pegamos cada uma e substituímos em p(x) e conferimos se dá 0. Se der, é raiz, do contrário, não é. Lembrando que o polinômio de terceiro grau possui 3 raízes.

$x^{3} +3x^{2} -6x-8$ = p(x)

p(1) = 1 +3-6 -8 = -10 -> 1 não é raiz;

p(-1) = 0 -> -1 é raiz;

p(2)= 0 -> 2 é raiz;

p(-2)= 8 -> -2 não é raiz;

p(4)= 80 -> 4 não é raiz;

p(-4)= 0 -> -4 é raiz;

p(8)= 648 -> 8 não é raiz;

p(-8)= -280 -> -8 não é raiz.

Portanto, temos que as raízes de p(x)=0 é {-1, 2, -4}, logo, a soma dessas raízes é -1+2-4= -3.

Logo, a alternativa correta é a letra A, soma igual a -3.