Question

(UFRGS 2016)Considere o pentágono regular de lado 1 e duas de suas diagonais, conforme representado na figura abaixo.A área do polígono sombreado é:A) sen36° / 2 B) sen72° / 2 C) sen72° / 3 D) sen36° E) sen72°

Answer 1

Olá :)

O exercício nos informa que todos os lados medem 1 e que a figura é um poligono regular. A parte mais escura, que é o local onde queremos descobrir a área, é um triângulo e nesse caso, descobrir os angulos do mesmo seria ideal para obter sua área.

Como estamos falando de um poligono regular, podemos utilizar a fórmula que relaciona o numero de lados e a soma dos seus angulos.

S = (n – 2 )*180º = (5-2)*180 = 540º

Dividindo pela quantidade de angulos: 540/5 = 108º em cada angulo.

Olhando para a figura em anexo na resposta, perceba: os dois angulos em rosa são iguais! ambos possuem 108º pois são ângulos alternos internos.

A soma do angulo laranja 2 do triangulo pintado com o angulo rosa é 180º. Vamos achar quando vale esse angulo laranja 2.

180 - 108 = 72º

Porem, do outro lado, também temos um angulo laranja que chamei de 1. Ele, também possui 72º pois são alternos externos. O angulo laranja 1 e o angulo verde, juntos, devem ter 108º. Para achar o valor do angulo verde, faremos: 108- 72 = 36º

O que temos então: angulo verde: 36º, angulo rosa: 180º, angulo laranja: 72º

Agora, vamos analisar o triangulo pintado isoladamente, como esta na segunda parte da figura. Sabemos que a soma dos angulos internos de um triângulo é 180º, então o angulo amarelo mede: 180 - 36 - 72 = 72º

Sabemos que o lado oposto ao angulo laranja mede 1. Portanto, o lado oposto ao angulo amarelo que também possui 72º vai medir 1 igualmente.

Vamos finalmente calcular a área desse triangulo por: A = a*b*senα/2 = 1*1*sen36/2

A = sen36/2

RESPOSTA: ALTERNATIVA A

Answer 2

Vamos lá, o exercício nos informa que todos os lados medem 1 e que a figura é um poligono regular. A parte mais escura, que é o local onde queremos descobrir a área, é um triângulo e nesse caso, descobrir os angulos do mesmo seria ideal para obter sua área.

Como estamos falando de um poligono regular, podemos utilizar a fórmula que relaciona o numero de lados e a soma dos seus angulos.

S = (n – 2 )*180º = (5-2)*180 = 540º

Dividindo pela quantidade de angulos: 540/5 = 108º em cada angulo.

Olhando para a figura em anexo na resposta, perceba: os dois angulos em rosa são iguais! ambos possuem 108º pois são ângulos alternos internos.

A soma do angulo laranja 2 do triangulo pintado com o angulo rosa é 180º. Vamos achar quando vale esse angulo laranja 2.

180 - 108 = 72º

Porem, do outro lado, também temos um angulo laranja que chamei de 1. Ele, também possui 72º pois são alternos externos. O angulo laranja 1 e o angulo verde, juntos, devem ter 108º. Para achar o valor do angulo verde, faremos: 108- 72 = 36º

O que temos então: angulo verde: 36º, angulo rosa: 180º, angulo laranja: 72º

Agora, vamos analisar o triangulo pintado isoladamente, como esta na segunda parte da figura. Sabemos que a soma dos angulos internos de um triângulo é 180º, então o angulo amarelo mede: 180 - 36 - 72 = 72º

Sabemos que o lado oposto ao angulo laranja mede 1. Portanto, o lado oposto ao angulo amarelo que também possui 72º vai medir 1 igualmente.

Vamos finalmente calcular a área desse triangulo por: A = a*b*senα/2 = 1*1*sen36/2

A = sen36/2

RESPOSTA: ALTERNATIVA A
Espero ter ajudado, bons estudos :)