(FUVEST 2017)Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente.A área do triângulo AEF é igual a:A) 24/25B) 29/30C) 61/60D) 16/15E) 23/20
Respostas
Para resolver essa questão vamos calcular as áreas de AFB e AEB, a subtração dessas área gera a área do triângulo AFE.
Triângulo AFB:
Podemos imaginar uma reta que passa pelo ponto F e encontra as retas AB no ponto G e a reta DC no ponto J. É possível prever que a altura da reta FG é igual a h, e que a altura da reta FJ é igual a h - 2.
Como os triângulos AFB e CFN são semelhantes porque os seus ângulos são iguais, podemos fazer uma relação de igualdade com as suas alturas:
FG está para FJ assim como AB está para CN:
h / 2-h = 4/2
h = 2 * ( 2- h)
h = 4 - 2h
3h = 4
h = 4/3
Logo, é possível calcular a área do triângulo AFB:
Aafb = b * h / 2
Aafb = 4 * (4/3) / 2
Aafb = 2 * (4/3)
Aafb = 8/3
Triângulo AEB:
A altura do triãngulo AEB é uma reta que parte do ponto E chega ao ponto L na reta AB, chamada de h'.
O triângulo AEB é isóceles, então EL = LB = h'
Sabemos que os triângulos AEL e AMB são semelhantes, então:
EL está para MB assim como AL está para AB:
h' / 1 = (4 - h') / 4
4 h' = 4 - h'
5 h' = 4
h' = 4/5
Então a área do triângulo AEB:
Aaeb = b * h / 2
Aaeb = 4 * (4/5) / 2
Aaeb = 2 * 4/5
Aaeb = 8/5
Triângulo AFE
Área do triângulo AFE é:
Aafe = Aafb - Aaeb
Aafe = 8/3 - 8/5
Aafe = 16/15
Resposta: (D)
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Letra c 61/60