Question

(UFSC 2011)(Adaptada) O volume de um cone reto é 1024 π cm³. Se a altura, o raio da base e a geratriz desse cone formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então calcule a medida da geratriz, em centímetros, e assinale o valor obtido no cartão-resposta.A) 18B) 19C) 20D) 21E) 22

Answer 1

Primeiro vamos dizer que x é a razão dessa progressão. Nesse caso ela fica desse jeito:

(h, r, g)

(r - x, r, r + x)

Agora vamos usar a fórmula do volume de um cone primeiro:

$\displaystyle V = \frac{\pi r^2 h}{3}$

$\displaystyle \frac{\pi r^2 h}{3} = 1024\pi$

$\displaystyle r^2 h = 3072$

Já que h = r - x,

$\displaystyle r^2 (r-x) = 3072 \;\; \text{(I)}$

O próximo passo é usar o triângulo retângulo formado por h, r e g e o teorema de Pitágoras:

g² = h² + r²

(r + x)² = (r - x)² + r²

(r + x)² - (r - x)² = r²

4rx = r²

4rx - r² = 0

r(4x - r) = 0

Nessa equação, r = 0 ou 4x - r = 0. Como r não pode ser zero, temos que:

r = 4x (II)

Substituindo esse r na equação (I), fica:

(4x)² · (4x - x) = 3072

16x² · 3x = 3072

48x³ = 3072

x³ = 3072/48

x³ = 64

x = 4

Substituindo x em (II),

r = 4 · 4

r = 16

Como a geratriz vale r + x, seu valor será 20.

LETRA C.