Question

(UFRGS 2017)Se log5 x = 2 e log10 y = 4, então log20 y/x é:A) 2B) 4C) 6D) 8E) 10

Answer 1

Primeiramente, vamos lembrar da definição de logaritmo:

$log_ab=x$ ⇔ $a^x = b$

Usando a definição acima, temos que:

$log_5x = 2$

x = 5²

x = 25

Da mesma forma:

$log_{10}y=4$

y = 10⁴

y = 10000

Queremos calcular $log_{20}\frac{y}{x}$.

Então, resolvendo primeiro $\frac{y}{x}$:

$\frac{y}{x} = \frac{10000}{25} = 400$

Considere que: $log_{20}400=z$.

Utilizando a definição:

$20^z = 400$

$20^z = 20^2$

z = 2

Portanto, a alternativa correta é a letra a).

Answer 2

O valor de log20 y/x é 2, alternativa A.

Logaritmos

Pela definição de logaritmo, sabemos que a base do logaritmo elevado ao resultado do mesmo é igual ao logaritmando, ou seja:

logₐ x = b

aᵇ = x

Utilizando a definição acima para reescrever os logaritmos dados, teremos que:

5² = x

10⁴ = y

Seja n o valor de log20 y/x, este pode ser escrito como:

n = log20 10⁴/5²

20ⁿ = 10⁴/5²

Pelas propriedades da potenciação, escrevemos:

(2²·5)ⁿ = (2·5)⁴/5²

2²ⁿ·5ⁿ = 2⁴·5²

Como as bases são iguais, temos:

2n = 4 e n = 2

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