Question

(UFPR 2009)Dados os números reais a, b e c diferentes de zero e a matriz quadrada de ordem 2considere as seguintes afirmativas a respeito de M:1. A matriz M é invertível.2. Denotando a matriz transposta de M por MT, teremos det(M.MT) > 0 .3. Quando a = 1 e c = −1 , tem-se M² = I , sendo I a matriz identidade de ordem 2.Assinale a alternativa correta.A) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.B) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.C) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.D) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.E) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

Answer 1

1. A matriz M é invertível.

>> Uma matriz é invertível se for quadrada e seu determinante for diferente de zero.

A matriz da questão é quadrada. Agora, precisamos saber o valor de seu determinante.

D = a.c - (b.0)

D = a.c

Como o enunciado fala que a, b e c são diferentes de zero, então:

D ≠ 0

VERDADEIRO (a matriz é invertível)

2. Denotando a matriz transposta de M por MT, teremos det(M.MT) > 0

>> O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

det(Mt) = det(M)

det(Mt) = a.c

det(M.MT) = det(M).det(Mt)

det(M.MT) = (a.c).(a.c)

det(M.MT) = (a.c)²

a e c são diferentes de zero, e como seus valores estão elevados ao quadrado, mesmo se forem negativos, o determinante terá valor positivo. Ou seja, maior que zero.

det(M.MT) > 0

VERDADEIRO

3. Quando a = 1 e c = −1 , tem-se M² = I , sendo I a matriz identidade de ordem.

>> Calcularemos M².

M² = M.M

$M^{2} = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\0&c\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}a&b\\0&c\end{array}\right]$

$M^{2} = \left[\begin{array}{ccc}1&b\\0&-1\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}1&b\\0&-1\end{array}\right]$

$M^{2} = \left[\begin{array}{ccc}1.1 + b.0&1.b + b. (-1)\\0.1 + (-1).0&0.b + (-1).(-1)\end {array}\right]$

$M^{2} = \left[\begin{array}{ccc}1 + 0&b - b\\0 - 0&0 + 1\end {array}\right]$

$M^{2} = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end {array}\right]$

VERDADEIRO (é matriz identidade)

Alternativa E.