Question

(UFRGS 2017)Considere as igualdades abaixo.I) (1–2i)(1+2i) = 5 , sendo i a unidade imaginária.II) 20 + 2-1 + 2-2 + 2-3 + ... = 2III) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 99 – 100 = 50Quais igualdades são verdadeiras?A) Apenas I.B) Apenas III.C) Apenas I e II.D) Apenas II e III.E) I, II e III.

Answer 1

Igualdade I (VERDADEIRA)

Este é um produto notável do tipo (a+b)(a-b) cujo resultado é a² - b², então (lembrando que i² = -1):

(1 - 2i)(1 + 2i) = 5

1² - (2i)² = 5

1 - 4i² = 5

1 - 4(-1) = 5

1 + 4 = 5

Igualdade II (VERDADEIRA)

Temos uma soma infinita de base 2 e expoente decrescente de 0 até -∞. Podemos escrever essa soma como sendo:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... é uma PG infinita de razão igual a um meio, então a soma dos termos é dado por:

S = 1/(1-q)

S = 1/(1-0,5)

S = 2

Igualdade III (FALSA)

Se agruparmos os termos 2 a 2, temos que:

(1-2)+(3-4)+(5-6)+...+(99-100) = 50

Note que todos os termos são iguais a -1, com um total de 50 termos, então o resultado da soma é 50.(-1) = -50.