Question

UDESC 2010)Os termos (a, b, c) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente, cuja soma é igual a 21. Então os termos (da imagem) formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão igual a:A) -2B) 2C) 16D) 4E) -4

Answer 1

Primeiramente, temos a informação que a soma de a, b e c é igual a 21, ou seja:

a + b + c = 21

Por se tratar de um progressão aritmética, podemos escrever os termos b e c em função de a, somando uma razão r:

a + (a + r) + (a + 2r) = 21

3a + 3r = 21

a + r = 7

Agora, vamos substituir os termos da progressão geométrica:

a + (a + 2r) / 2 × (a + r) , (a + 2r) - a , (a + r) + (a + 2r)

2 × (a + r) / 2 × (a + r) , 2r , 2a + 3r

1 , 2r , 2a + 3r

Ainda, por se tratar de uma PG, a razão entre dois termos subsequentes deve ser a mesma, ou seja:

2r / 1 = (2a + 3r) / 2r

4r² = 2a + 3r

Substituindo a = 7 - r, temos:

4r² - 3r - 2 × (7 - r) = 0

4² - r - 14 = 0

Dessa maneira, temos uma equação de segundo grau, que possui as seguintes raízes:

x' = 2

x" = - 7/4

Analisando a PG, podemos ver que os termos crescem (b + c > c - a). Logo, a razão deve ser positiva. Portanto, a razão da PG é 2.

Alternativa correta: B.