Question

(UFRGS 2017)Considere dois círculos concêntricos em um ponto O e de raios distintos; dois segmentos de reta AB e CD perpendiculares em O, como na figura abaixo.Sabendo que o ângulo mede 30º e que o segmento AD mede 12, pode-se afirmar que os diâmetros dos círculos medem: A) 12 sen 15º e 12 cos 15º .B) 12 sen 75º e 24 cos 75º .C) 12 sen 75º e 24 sen 75º .D) 24 sen 15º e 24 cos 15º .E) 24sen75 e o 12cos75 .

Answer 1

Olá!

Do enunciado sabemos que:

1- Temos dois círculos concêntricos em um ponto O e de raios distintos.

2 - Os raios distintos, um é maior que outro.

3- Dois segmentos de reta AB e CD, que são perpendiculares em O.

4- O ângulo mede 30º.

5- O segmento AD mede 12.

Sabendo isso, començamos por desenahar o segmento AD e BD, assim formase um triangulo. O ângulo que mede 30º, vai ser dividido na metade por um segmento de reta que vai ser a Raio maior (R)e a sua vez divide o triângulo en dois triangulos retangulos congruentes.

A base do triângulo representa ao raio menor (r)

Assim aplicando as propriedades trigonometricas podemos determinar os valores dos raios:

Para o Triângulo OAD temos que o raio maior é

$cos\;15^{o} = \frac{R}{12} \\R = 12 * cos\;15^{o}$

O Raio maior do triângulo completo ABD é:

$R = 2 * (12 * cos\;15^{o})\\R= 24 cos\;15^{o}$

Com o seno podemos obter o raio menor do triângulo OAD:

$sen\;15^{o} = \frac{R}{12} \\ R = 12 * sen\;15^{o}$

O raio menor do triângulo completo ABD é:

$R = 2 * (12 * cos\;15^{o})\\ R= 24 cos\;15^{o}$

Assim a alternativa correta é: D) 24 sen 15º e 24 cos 15º