Question

LOGARITMO
Sabendo-se que logb a = m, então log1/a b2 , vale:

Resposta: -2/m
Por favor, como estruturar o cálculo e quais propriedades logarítmicas usar?

Answer 1

Se

$log_{b}(a) = m$

então


${b}^{m} = a$

Sabemos que para existir o logaritmo dado, deve-se ter b > 0. Daí,


${b}^{m} = a \\ \sqrt[m]{ {b}^{m} } = \sqrt[m]{a} \\ b = \sqrt[m]{a} \: \: \: \: (1)$


Temos também:


$log_{ \frac{1}{a} }( {b}^{2} ) = 2 log_{ \frac{1}{a} }(b)$

Substituindo o valor de b por (1), segue que:


$2 log_{ \frac{1}{a} }(b) = 2 log_{ \frac{1}{a} }( \sqrt[m]{ a})$


Agora usando a propriedade:


$log_{a}( \sqrt[n]{m} ) = \frac{1}{n} log_{a}(m)$


vem que


$2 log_{ \frac{1}{a} }( \sqrt[m]{a} ) = 2 \times \frac{1}{m} log_{ \frac{1}{a} }(a)$


Por fim, usando a definição de logaritmo, temos que:


$log_{ \frac{1}{a} }(a) = x < = > \: {( \frac{1}{a} )}^{x} = a \\ < = > \: ({ {a}^{ - 1} )}^{x} = a \: < = > {a}^{ - x} = a \\ < = > - x = 1 \: < = > x = - 1$


e então


$2 \times \frac{1}{m} \times log_{ \frac{1}{a} }(a) = 2 \times \frac{1}{m} \times ( - 1) = \\ = \frac{ - 2}{m}$