Question

Se (a1, a2, a3, a4, . . .) é uma progressão
aritmética cuja razão é igual a r e se para cada n
tomarmos bn = (an+1)2 – (an)2 , então, bn+1 – bn é
igual a

A) 2r.
B) 2r2.
C) 4r.
D) 4r2.

Answer 1

Como a1, a2, a3, a4, ... é uma progressão aritmética de razão r, sabemos que a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r e assim por diante, ou seja, an+1 = an + r. Seja bn = (an+1)² - an², temos que:

b(n) = (an+r)² - an² = an² + 2.an.r + r² - an²

b(n) = 2.an.r + r²

Então b(n+1) seria igual a:

bn+1 = (a(n+1)+1)2 – (a(n+1))2

bn+1 = (an+2)² - (an+1)²

Temos que an+2 = an + r + r = an + 2.r, então:

bn+1 = (an + 2.r)² - (an+r)²

bn+1 = an² + 4.an.r + 4.r² - (an² + 2.an.r + r²)

bn+1 = 2.an.r + 3.r²

Então:

bn+1 - bn = (2.an.r + 3.r²) - (2.an.r + r²)

bn+1 - bn = 2.r²

Resposta: letra B