12No plano cartesiano, há duas retas paralelas à reta de equação 3x + 4y+60 = 0e que tangenciam a circunferência x2+y2=4.Uma delas intercepta o eixo y no ponto de ordenadaA 2,9 B 2,8 C 2,7 D 2,6 E 2,5
Respostas
A circunferência possui a seguinte fórmula geral: (x - xo)² + (y - yo)² = R², onde (xo, yo) é a origem e R é o raio. Desse modo, podemos concluir que a origem da circunferência é o ponto (0, 0) e o raio é igual a 2.
Uma vez que a reta tem a equação 3x + 4y + 60 = 0, podemos concluir que as retas paralelas possuem a seguinte fórmula: 3x + 4y + m = 0, uma vez que a inclinação é a mesma, mudando apenas o ponto onde elas interceptam os eixos. Além disso, temos a informação que elas são tangentes à circunferência, ou seja, distam 2 unidades de medida do centro. Desse modo, podemos utilizar a equação de distância entre reta e ponto para determinar o valor de m:
D = | axo + byo + c | / √a² + b²
2 = | 3×0 + 4×0 + m | / √3² + 4²
2 = | m | / 5
| m | = 10
Logo, m pode assumir dois valores: m = 10 e m = - 10. Com isso, temos as equações das duas retas paralelas, sendo elas:
3x + 4y + 10 = 0
3x + 4y - 10 = 0
Por fim, vamos substituir x = 0 nas duas equações, para determinar o ponto em que elas interceptam o eixo das ordenadas:
3×0 + 4y + 10 = 0
y = - 5/2
3×0 + 4y - 10 = 0
y = 5/2
Portanto, umas das retas intercepta o eixo y em: y = 2,5.
Alternativa correta: E.