Question

alice tem uma moeda de 5 centavos uma de 10 uma de 25 e uma de 50.quantas quantias diferentes ela pode fazer com essas moedas?

Answer 1

Ela tem 4 moedas, podendo agrupar elas em grupo de 1, 2, 3 ou 4 moedas.

A fórmula da combinação de n p a p é:

${ C }_{ p }^{ n }=\frac { n! }{ p!\cdot (n-p)! }$

Se ela fizer grupos de 1 moeda, é uma combinação de 4 um a um.

${ C }_{ 1 }^{ 4 }=\frac { 4! }{ 1!\cdot (4-1)! } =\frac { 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{ 1\cdot 3! } =\frac { 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{ 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1 } =4$, que é o próprio número de moedas.

Se ela fizer grupos de 2 moedas, é uma combinação de 4 dois a dois.

${ C }_{ 2 }^{ 4 }=\frac { 4! }{ 2!\cdot (4-2)! } =\frac { 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{ 2\cdot 1\cdot 2! } =\frac { 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{ 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1 } =6$

Se ela fizer grupos de 3 moedas, é uma combinação de 4 três a três.

${ C }_{ 3 }^{ 4 }=\frac { 4! }{ 3!\cdot (4-3)! } =\frac { 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{ 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1! } =\frac { 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{ 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1 } =4$

Se ela fizer grupos de 4 moedas, é uma combinação de 4 quatro a quatro.

${ C }_{ 4 }^{ 4 }=\frac { 4! }{ 4!\cdot (4-4)! } =\frac { 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{ 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1! } =\frac { 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{ 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 } =1$, que é o grupo de todas as moedas juntas.

Então o número de combinações possíveis será:

${ C }_{ 1 }^{ 4 }+{ C }_{ 2 }^{ 4 }+{ C }_{ 3 }^{ 4 }+{ C }_{ 4 }^{ 4 }=4+6+4+1=15$

15 combinações possíveis.

Fiz desse modo pois acredito que você esteja estudando para análise combinatória, mas existem outras formas de pensar no problema.