Question

determine o polinômio P(x) do 3º grau com coeficientes reais que satisfaz as seguintes condições: P(0) = 0, P(1) = 1, (P(x - 1) - 2P(x) + P (x+1) = x

Resposta: P(x) = x^3 sobre 6 + 5x sobre 6

Answer 1

P(0) = 0 e P(1) = 1

P(x - 1) - 2P(x) + P (x+1) = x

Se x=1

P(0)-2P(1)+P(2)=1 ==>P(2)=3

Se x=0

P(-1)-2P(0) +P(1)=0 ==> P(-1)=-1

P(x)=ax³+bx²+cx+d

Se x=0 ==> d=0 , sabemos que d=0

P(x)=ax³+bx²+cx

Se x=1

a+b+c=1 (i)

Se x=2

8a+4b+2c=3 (ii)

Se x=-1

-a+b-c=-1 (iii)

a+b+c=1 (i)

8a+4b+2c=3 (ii)

-a+b-c=-1 (iii)

(i) + (iii)

2b=0 ==>b=0

8a+2c=3 (v)

-a-c=-1 c=1-a (iv)

(iv) em (v)

8a+2*(1-a)=3

8a+2-2a=3 =>a=1/6

c=1-(1/6) =5/6

Resposta:

a=1/6

b=0

c=5/6

d=0

P(x)=x³/6 + 5x/6 é a resposta

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Seja P(x) = ax³ + bx² + cx + d esse polinômio.

• P(0) = 0

a.0³ + b.0² + c.0 + d = 0

d = 0

• P(1) = 1

a.1³ + b.1² + c.1 = 1

a + b + c = 1

• P(x-1) - 2P(x) + P(x+1) = x

Para x = 0:

P(-1) - 2.P(0) + P(1) = 0

P(-1) - 2.0 + 1 = 0

P(-1) = -1

a.(-1)³ + b.(-1)² + c.(-1) = -1

-a + b - c = -1

a - b + c = 1

Para x = -1:

P(-2) - 2.P(-1) + P(0) = -1

P(-2) - 2.(-1) + 0 = -1

P(-2) + 2 = -1

P(-2) = -3

a.(-2)³ + b.(-2)² + c.(-2) = -3

-8a + 4b - 2c = -3

8a - 4b + 2c = 3

Podemos montar o sistema:

• a + b + c = 1

• a - b + c = 1

• 8a - 4b + 2c = 3

Somando as duas primeiras equações;

a + a + b - b + c + c = 1 + 1

2a + 2c = 2

a + c = 1 -> a = 1 - c

Substituindo a + c por 1 em a + b + c = 1:

1 + b = 1

b = 1 - 1

b = 0

Da terceira equação:

8a - 4b + 2c = 3

8a - 4.0 + 2c = 3

8a + 2c = 3

Substituindo a por 1 - c:

8.(1 - c) + 2c = 3

8 - 8c + 2c = 3

8c - 2c = 8 - 3

6c = 5

c = 5/6

Assim:

a = 1 - c

a = 1 - 5/6

a = 1/6

Logo, P(x) = x³/6 + 5x/6