Question

igura formada de 2 quadrados concêntricos de lados iguais a 1m, sendo que um deles é girado 45º em relação ao outro.a soma das áreas de todos os triângulos formados pelos dois quadrados é igual a

Answer 1

Sejam ABCD e EFGH dois quadrados concêntricos de lado 1m de tal forma que EFGH está girado 45º em relação ao quadrado ABCD. Para facilitar a imaginação/construção no papel, considere, no quadrado ABCD, que o segmento AB esteja no topo, e, no outro quadrado, E é o ponto superior (supondo que o quadrado ABCD está paralelo à base do papel). Sabemos que os 8 triângulos são congruentes, e possuem a mesma área. Basta calcularmos, então, a área de um deles. Agora, à resolução:

Seja M um ponto no lado AB que divida AB em duas partes iguais; sabemos que ME é perpendicular a AB. Sendo P a intersecção de EF e AB e Q a intersecção de HE e AB, podemos afirmar que PM = QM = ME. Portanto, os triângulos PME e QME são retângulos isósceles. Sabendo que O é o centro de ambos os quadrados ABCD e EFGH, podemos afirmar que OE = √2/2, pois é metade da diagonal de EFGH, e que OM = 1/2, pois é equivalente à metade do lado de ABCD. Portanto, temos que ME = OE - OM = √2/2 - 1/2 = (√2 - 1)/2. Já que PM = QM = ME, podemos afirmar que a soma das áreas de PME e QME é 2.[(√2 - 1)/2].[(√2 - 1)/2]/2 = (2 - 2√2 + 1)/4. Sendo assim, a soma da área de todos os triângulos é 8 vezes esse valor: 8.(3 - 2√2)/4 = 6 - 4√2.