Question

É dado um triângulo retângulo no qual a altura relativa a hipotenusa mede 24cm. sabemos que a soma das medidas dos dois catetos desse triângulo é 70cm, determine o perímetro desse triângulo:
a) 100cm 
b) 110cm
c) 120cm
d) 150cm
e) 200cm

Answer 1

a + b = 70

h = 24

Utilizando as relações trigonométricas:

c² = a² + b²

c² = (a + b)² - 2ab

c² = (70)² - 2ab

c² = 70² - 2ab

c² - 70² = -2ab

ab = c² - 70² / -2

-----------------------------

c.h = a.b

24c = c² - 70² / -2

c² - 70² = -48c

Isolando c:

c² + 48c - 70² = 0

Bháskara:

Δ = (48)² - 4.1.(-70²)

Δ = 48² + 4.70²

Δ = 2304 + 19600

Δ = 21904

c = -48 +- √21904 / 2

c' = -48 - 148 / 2

c' = -196 / 2

c' = -98

c'' = -48 + 148 / 2

c'' = 100 / 2

c'' = 50

Portanto, a hipotenusa mede 50, já que não é admitido que tenha um valor negativo.

Assim, o perímetro é:

p = 70 + 50 = 120 cm

Answer 2

h = 24

b + c = 70 ****

bc = ah

bc = 24a ***

b² + c² = a²

ou

( b + c)² = ( 70 )²

[ (b)² + 2 * b * c + (c)² ] = 4900

b² + 2bc + c² = 4 900

( b² + c² ) + 2bc = 4900

substituindo b² + c² por a² e bc por 24a ***

a² + 2 ( 24a) = 4 900

a² + 48a - 4900 = 0

delta = ( 48)² - [ 4 * 1 * ( -4900)] = 2304 + 19600 =21904 ou V21904 = 148

a = ( - 48 + 148)/2

a1 = 100/2 = 50 ***

bc = 24a

bc = 24 * 50

bc = 1200 ****

b + c = 70 >>>> c = 70 - b *** substituindo em bc = 1200

b ( 70 - b ) = 1200

70b - b² - 1200 = 0 ( - 1)

b² - 70b + 1200 = 0

delta = (-70)² - [ 4 * 1 * 1200] = 4900 - 4800 = 100 ou +-V100 = +-10 ****

b1 = ( 70 + -10)/2 = 80/2 = 40 ***

b2 = 60/2 = 30 ***

b + c = 70

40 + c = 70

c1 = 70 - 40 = 30 ***

ou

30 + c = 70

c2 =70 - 3-0 = 40 ****

as medidas são

a = 50

b = 30 ou 40

c = 40 ou 30

P = 50 + 40 + 30

P = 120 *** resposta