Question

Determine os valores reais de p para que a função f(x)=(10-p)x2+px+8 seja positiva para todos os valores de x real.

Answer 1

Duas coisas devem acontecer para f (x) > 0 ∀ x .

o coeficiente a > 0 e Δ < 0

a = (10-p) > 0 -----> p < 10

Δ = b² - 4ac = p² - 4(10-p)(8) = p² -32(10-p) = p² - 320 + 32p = p² + 32p - 320 < 0

Primeiro, resolvamos a equação quadrática: p² + 32p - 320 = 0

Δ = (32)² - 4(1)(-320) = 1024 + 1280 = 2304

√Δ = √2304 = 48

p₁ = (-32+48)/2 = 16/2 = 8

p₂ = (-32-48)/2 = -80/2 = -40

Portanto, teremos p² + 32p - 320 < 0 para -40 < p < 8

Desse modo, devemos ter ao mesmo tempo valores de p que satisfazem as seguintes duas desigualdades:

p < 10

-40 < p < 8

Logo, basta -40 < p < 8

Solução = S = {p ∈ R | -40 < p < 8}