Question

quantos numeros inteiros existem

Answer 1

Infinitos..................................

Answer 2

Números inteiros são os números naturais (1, 2, 3, 4 etc) e os negativos (-1, -2, -3, -4 etc). 
Ah, e não se esqueça do "zero". :P 

Quanto a sua pergunta, só os números naturais já são infinitos, não acabam nunca. Então os inteiros também são infinitos. 

Mas é claro que isso é só em teoria: imagine cada centímetro do Universo, vai dar um número gigantesco né, mas o Universo (tudo o que existe) ainda está em expansão, ou seja, é imenso mas não é infinito. Por isso é só em teoria.^^