Question

O lucro mensal de uma fábrica é dado por L (x) = -x² + 60x -10  , em que x é a quantidade mensal de unidades fabricadas e vendidas de um certo bem produzido por esta empresa e L é expresso em reais (obs.: real é unidade monetária).
Determine o maior lucro mensal possível que a empresa poderá ter.

Answer 1

A equação $L(x)=-x^2+60x-10$ forma uma parábola com concavidade voltada para cima.

O lucro é dado pelo eixo das ordenadas (de y), logo para determinar o lucro máximo basta determinar a localização da vértice da parábola $V(x_v, y_v)$ .

Na verdade como se deseja apenas o maior lucro possível, bastaria determinar o valor de $y_v$, porém encontrarei a localização das coordenadas do vértice desta parábola. Fazemos:

$X_v = \frac{-b}{2a} \\ \\ X_v = \frac {-60}{-2}= \frac{60} {2}=30$

Agora iremos determinar o maior Lucro possível.

$Y_v = \frac{- \Delta}{4 \cdot (a)} \\ \\ Y_v = \frac{- (b^2-4ac)}{4 \cdot (a)} \\ \\ Y_v = \frac{- (60^2-4 \cdot (-1) \cdot (-10))}{4 \cdot (-1)} \\ \\\ Y_v = \frac{- (3600-40)}{-4} \\ \\ Y_v= \frac{-3560} {-4} \\ \\ Y_v=890$

Logo, o Maior lucro possível é 890.

Podemos mostrar que está correto substituindo o valor 30, Xv, na equação no lugar de x. Ficaria assim:

$L(30) = -30^2+60 \cdot 30 - 10$

$L(30) = -900+1800 - 10 = 900-10 = 890$

Além disso podemos mostrar que está correta construindo o gráfico da função L(x)