Question

Como se encontra o domínio natural da função f(x)= √(x²-5x+6) ??? Sei que fatorando a expressão x²-5x+6, encontramos (x-3)(x-2), e que a expressão deve ser maior ou igual a zero porque a radiciação para funções reais de variável real não aceita números negativos, o que nos dá o início do cálculo como abaixo: x²-5x+6 ≥ 0 (x-3)(x-2) ≥ 0 Essa desigualdade é satisfeita quando x ≤ 2 ou x ≥ 3, de modo que o domínio natural de f é ( -∞, 2] U [3, +∞). Não entendo como encontrar essa resposta... Que tipo de cálculos foram feitos? Intervalos? Jogo de sinais? Como a desigualdade x ≤ 2 ou x ≥ 3 foi encontrada?? Muito obrigada.

Answer 1

Hola.

Antes de iniciar o desenvolvimento da questão, veja uma coisa:
Quando se tem funções com radicais, existem a seguinte condição de existência:
a) se o índice da raiz for par, o radicando (o que tem dentro da raiz) terá que ser maior ou igual a zero;
b) se o índice da raiz for ímpar, o radicando pode ser qualquer real, sem nenhuma condição de existência.

x²-5x+6 ≥ 0 ----(veja que valem valores de "x" maiores ou iguais a zero), pois se o radicando for zero, raiz de zero é zero. Certo?

f(x) ---> raízes ---> x² - 5x + 6 = 0----->x' = 2 e x'' = 3 <---Essas são as raízes de f(x).

A variação de sinal da  função se comportará da seguinte forma: 

Para f(x) = x² - 5x + 6
- para valores de "x" iguais as raízes, f(x) = 0, nos interessam
- para valores de "x" intrarraízes (2<x<3), f(x) < 0, não interessa
- para valores de "x" extrarraízes (x≤ 2 ou x ≥ 3), f(x) ≥ 0, interessam
Graficamente, teríamos :

b) f(x)=x²-5x+6.......++++++(2)- - - - - - (3)+++++++++++++++++

Donde concluímos que:
S = {xE IR / x≤ 2 ou x ≥ 3} ou ainda {xE IR /  ( -∞, 2] U [3, +∞)}



 

Answer 2

Observe o gráfico da função

$\boxed{\boxed{\mathtt{g(x)=x^2-5x+6}}}$

Note que a esquerda de dois e a direita do 3 a função tem imagens positivas e nulas.

Aqui, temos apenas que encontrar o zero da função e realizar o estudo do sinal.

Dessa forma

$\mathsf{f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}}\\\mathsf{Df(x)=\{x\in\mathbb{R}|x\le2~ou~x\ge3\}}$