Dê a lei de formação das funções polinomiais do 1 grau correspondentes às retas f e g , e encontre o ponto de intersecção dessas duas retas sabendo que o zero da função é 3/-3 e que o ponto de interseção do gráfico com o eixo u é -1/1
Respostas
Vamos lá.
Veja, Amy, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pelo que está escrito no enunciado, estamos entendendo que a questão está pedindo isto: "dê a lei de formação das funções polinomiais do 1º grau correspondentes às retas de equação f(x) e g(x), respectivamente e encontre o ponto de intersecção entre essas duas retas, sabendo-se que o zero da função f(x) é igual a "3" e o zero da função g(x) é igual a "-3" e que o ponto de intersecção do gráfico com o eixo dos "y" é dado quando y = -1, para f(x), e quando y = 1 , para g(x).
ii) Agora vamos por parte. Vamos primeiro encontrar a função f(x) que, por ser do 1º grau, terá a seguinte forma:
f(x) = ax + b
ii.1) Tem-se que a raiz (ou o zero) desta função é x = 3. Assim, iremos na função f(x) = ax + b e substituiremos o "x" por "3" e igualaremos f(x) a zero, ficando assim, pois a raiz de qualquer função zera essa função da qual ela é raiz:
0 = a*3 + b
0 = 3a + b --- ou, o que é é a mesma coisa:
3a + b = 0 ----- isolando "b", teremos:
b = - 3a . (I)
ii.2) Tem-se que nesta função, teremos y = -1, que é quando o gráfico corta o eixo dos "y". Então iremos na função dada [f(x) = ax + b] e substituiremos f(x) por "-1" e substituiremos "x' por "0", pois quando o gráfico corta o eixo dos "y", neste instante o "x" é igual a zero. Então teremos isto:
-1 = a*0 + b
-1 = 0 + b --- ou apenas:
- 1 = b --- ou, invertendo-se:
b = - 1 <--- Este é o valor do termo "b" da função f(x) = ax + b.
ii.3) Como já temos o valor de "b" (b = -1), então, para encontrar o valor de "a", vamos na expressão (I), que é esta:
b = - 3a ---- substituindo-se "b" por "-1", teremos:
-1 = -3a ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
-3a = -1 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
3a = 1 --- isolando "a", teremos:
a = 1/3 <--- Este é o valor de "a".
ii.4) Assim, a função f(x) = ax + b será esta, após substituirmos o "a" por "1/3" e "b" por "-1", será esta:
f(x) = x/3 - 1 <--- Esta é a lei de formação para a função f(x) = ax + b.
iii) Agora vamos para a função g(x), que também é da forma g(x) = ax + b.
iii.1) Tem-se que o zero (ou a raiz) de g(x) é igual a "-3". Assim, iremos na função g(x) = ax + b e substituiremos "x" por "-3" e igualaremos g(x) a "zero", pois a raiz de qualquer função zera a função da qual ela é raiz. Logo, teremos isto:
0 = a*(-3) + b
0 = -3a + b ----- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, teemos:
- 3a + b = 0 ----- isolando "b", teremos:
b = 3a . (II)
iii.2) Tem-se que nesta função, teremos y = 1, que é quando o gráfico corta o eixo dos "y". Então iremos na função dada [g(x) = ax + b] e substituiremos g(x) por "1" e substituiremos "x' por "0", pois quando o gráfico corta o eixo dos "y", neste instante o "x" é igual a zero. Então teremos isto:
1 = a*0 + b --- ou apenas:
1 = 0 + b
1 = b ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
b = 1 <---- Este é o valor do termo "b" da função g(x) = ax + b.
iii.3) Como já temos o valor de "b" (b = 1), então, para encontrar o valor de "a", vamos na expressão (II), que é esta:
b = 3a ---- substituindo-se "b" por "1", teremos:
1 = 3a --- ou, o que dá no mesmo:
3a = 1
a = 1/3 <--- Este é o valor de "a".
iii.4) Assim, a função g(x) = ax + b será esta, após substituirmos o "a" por "1/3" e "b" por "1", será esta:
g(x) = x/3 + 1 <--- Esta é lei de formação da função g(x) = ax + b.
iv) Agora, finalmente, vamos encontrar qual é o ponto de intersecção entre as duas retas. Para isso, basta que as igualemos, pois no ponto de intersecção elas serão iguais. Assim, teremos no ponto de intersecção:
f(x) = g(x) ---- substituindo-se f(x) e g(x) por suas representações, teremos:
x/3 - 1 = x/3 + 1 ---- passando "x/3" para o 1º membro e passando "-1" para o 2º membro, iremos ficar assim:
x/3 - x/3 = 1 + 1 ----- como "x/3 - x/3 = 0", teremos:
0 = 2 <--- Absurdo. Logo, as retas são paralelas (note que elas têm o mesmo coeficiente angular), e, como tal elas não têm ponto de intersecção.
Apenas pra você ter uma ideia visual sobre o gráfico dessas duas funções, veja no endereço abaixo e constate tudo o que se disse aí em cima sobre elas. Veja lá:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bf(x)+%3D+x%2F3+-+1,+g(x)+%3D+x%2F3+%2B+1%7D
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.