Respostas
an = a1 + ( n - 1 ) r
91 = 3 + ( n - 1 ) 2
91 = 3 + 2n - 2
91 = 1 + 2n
91 - 1 = 2n
n = 90 / 2
n = 45
PA = { 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31. 33. 35. 37. 39. 41. 43. 45. 47. 49. 51. 53. 55. 57. 59. 61. 63. 65. 67. 69. 71. 73. 75. 77. 79. 81. 83. 85. 87. 89. 91 }
resposta : P.A de 45 termos
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (3, 5, ..., 91), tem-se que:
a)trata-se de uma progressão aritmética (PA) finita, porque se sabe qual é o último termo, embora não se conheça a sua posição, a ordem em que ele se encontra na referida sequência;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 3
c)último termo (an): 91 (Chama-se último termo ou enésimo termo porque não se conhece a posição (a ordem) que ele ocupa na progressão.)
d)número de termos (n): ? (Embora não se saiba o seu valor, necessariamente se diz que será positivo e inteiro, porque não existe indicação de quantidade por meio de números negativos e de decimais.)
e)por meio da observação dos dois primeiros termos e do último da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer).
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 5 - 3 ⇒
r = 2 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o número de termos:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
91 = 3 + (n - 1) . (2) ⇒
91 = 3 + 2n - 2 ⇒
91 = 1 + 2n ⇒
91 - 1 = 2n ⇒
90 = 2n ⇒
90/2 = n ⇒
45 = n ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
n = 45
Resposta: O número de termos da P.A.(3, 5, ..., 91) é 45.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo n = 45 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o número de termos realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
91 = a₁ + (45 - 1) . (2) ⇒
91 = a₁ + (44) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
91 = a₁ + 88 ⇒
91 - 88 = a₁ ⇒
3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 3 (Provado que n = 45.)
Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
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