Question

Um arquiteto e um engenheiro foram contratados para desenvolver um projeto onde haveria apenas uma coluna de sustentação para um objeto triangular com vértices dados por (0, 0), (2, 0) e (0, 2), e uma densidade dada por δ (x , y) = 5 * x +3 * y .

Determine o centro de massa deste objeto sabendo que ele é dado por (x¯,y¯), onde:

Answer 1

Ao construirmos os pontos (0,0), (2,0) e (0,2) no plano cartesiano encontramos a região triangular limitada pelas retas y = 0, x = 0 e x + y = 2.

Sendo assim, temos que:

0 ≤ x ≤ 2 - y

0 ≤ y ≤ 2

Primeiramente, vamos calcular a massa.

Sendo a densidade igual a δ(x,y) = 5x + 3y, então:

$m = \int\limits^2_0 \int\limits^{2-y}_0 {5x+3} \, dx dy$

Resolvendo essa integral dupla encontramos:

$m = \frac{32}{3}$

Agora precisamos calcular $M_y$ e $M_x$.

Cálculo de $M_y$

$M_y = \int\limits^2_0 \int\limits^{2-y}_0 {x(5x+3y)} \, dxdy$

$M_y = \frac{26}{3}$

Cálculo de $M_x$

$M_x = \int\limits^2_0 \int\limits^{2-y}_0 {y(5x+3y)} \, dx dy$

$M_x = \frac{22}{3}$

Portanto, o centro de massa da região triangular é igual a:

$(x,y) = (\frac{M_y}{m}, \frac{M_x}{m})$

$(x,y) = (\frac{26}{3}.\frac{3}{32}, \frac{22}{3}. \frac{3}{32})$

$(x,y) = (\frac{13}{16}, \frac{11}{16} )$