Question

4) Num triângulo equilátero de lado 10 cm, inscreve-se um quadrado, conforme a seguinte figura. A área hachurada, em cm2, vale...

Answer 1

Boa noite Daniela!!

Segue uma imagem em anexo para melhor entendimento.

Se o triângulo é equilátero, quer dizer que todos os lados dele são iguais, como podemos ver na Figura 1. Chamaremos o lado do quadrado inscrito de y e as partes restantes de x, como mostra a figura. Temos a partir daí que:

x + y + x = 10 → 2x + y = 10

Traçando a altura do triângulo, representada por h, dividimos ele em 2 triângulos retângulos iguais, cuja representação consta na figura 3. Para achar o valor de h, podemos fazer teorema de Pitágoras:

10² = 5² + h²

100 = 25 + h²

h² = 100 - 25

h² = 75

h = √75

h = √25.3

h = √25.√3

h = 5√3 → altura do triângulo

Podemos ver que os triângulos retângulos formados são semelhantes, como mostra a figura 4. Fazendo a semelhança dos triângulo fica:

$\frac{y}{5\sqrt{3}} = \frac{x}{5}$

5√3x = 5y

$x = \frac{5y}{5\sqrt{3}}$

$x = \frac{y}{\sqrt{3}}$

Substituindo o valor de x na primeira equação fica:

$2.\frac{y}{\sqrt{3}} + y = 10$

Sendo o MMC = √3, fica:

2y + √3y = 10√3

y (2 + √3) = 10√3

$y = \frac{10\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

O valor da área de um quadrado é o seu lado ao quadrado. Logo, a área do quadrado inscrito é:

A = y²

$A = (\frac{10\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})^{2}$

$A = \frac{(10\sqrt{3})^{2}}{(2 + \sqrt{3})^{2}}$

$A = \frac{100.(\sqrt{3})^{2}}{(2 + \sqrt{3})^{2}}$

$A = \frac{100.3}{(2 + \sqrt{3})^{2}}$

A = $A = \frac{300}{(2 + \sqrt{3})^{2}}$

A área do triângulo equilátero é:

$A = \frac{l^{2}.\sqrt{3}}{4}$

$A = \frac{10^{2}.\sqrt{3}}{4}$

$A = \frac{100\sqrt{3}}{4}$

A = 25√3

A área hachurada é a diferença entre a área do triângulo e a área do quadrado inscrito, sendo assim:

$A = 25\sqrt{3} - \frac{300}{(2 + \sqrt{3})^{2}}$

Letra A