Question

Uma bola de borracha é abandonada de uma altura H
acima de um plano inclinado que faz um ângulo = 15,0 com a horizontal. O vértice desse plano está
encostado em uma pequena mureta vertical conforme ilustrado na figura abaixo, onde h = d = 1,20 m.
Determine o menor valor de H que faz com que a bola ultrapasse a mureta após colidir elasticamente com
o plano inclinado.

Answer 1

Primeiramente vamos descobrir o seno e o cosseno de 15°:

$sen\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}$

Trocando os valores:

$sen15=\sqrt{\frac{1-cos30}{2}}$

A prova diz que cos30=0,85, então:

$sen15=\sqrt{\frac{0,15}{2}}$

ou:

$sen15=\sqrt{\frac{3}{40}}$

Agora vamos achar o cosseno de 15:

$cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}$

Trocando os valores e considerando cos30=0,85:

$cos15=\sqrt{\frac{1,85}{2}}$

ou:

$cos15=\sqrt{\frac{37}{40}}$

Note que ao cair, a bolinha é desacelerada pela força normal, que é perpendicular à superfície, e logo após isso ela é acelerada pela mesma força normal, e portanto sua aceleração é também perpendicular ao plano, o que acarreta em uma velocidade também perpendicular ao plano inclinado.

Agora vamos decompor essa velocidade Vo com que a bolinha sai do plano em uma componente no eixo y (Vy) e uma componente no eixo x (Vx):

$Vx=Vo.sen15$

$Vy=Vo.cos15$

Com isso vamos montar as duas funções horárias do movimento, uma do eixo x(MRU) e outra do eixo y(MUV):

Eixo x:

$Sx=0+Vx.t$

$Sx=Vo.sen15.t$

Eixo y:

$Sy=0+Vy.t-5.t^{2}$

$Sy=Vo.cos15.t-5.t^{2}$

Como d=h, no momento que a bolinha ultrapassa a coluna, podemos dizer que os espaços no eixo x e no eixo y são iguais, portanto Sx=Sy:

$Vo.sen15.t=Vo.cos15.t-5.t^{2}$

Simplificando:

$Vo.sen15=Vo.cos15-5.t$ (1)

Agora usando a função da velocidade no eixo x podemos determinar o tempo necessario para chegar a altura h=1,2:

$1,2=Vo.sen15.t$

$t=\frac{1,2}{Vo.sen15}$

substituindo o tempo em 1:

$Vo.sen15=Vo.cos15-5(\frac{1,2}{Vo.sen15} )$

Simplificando temos:

$Vo^{2} =\frac{6}{sen15(cos15-sen15)}$ (2)

Agora usando a conservação da energia mecânica temos que:

$m.g.H=\frac{m.Vo^{2} }{2}$

Simplificando temos:

$H=\frac{Vo^{2}}{2g}$

Usando a equação 2:

$H=\frac{\frac{6}{sen15(cos15-sen15)}}{2g}$

Fazendo a divisão de frações:

$H=\frac{6}{2.g.sen15(cos15-sen15)}$

Trocando g por 10 e sen15, cos 15 por seus respectivos valores:

$H=\frac{6}{20.\sqrt{\frac{3}{40}}(\sqrt{\frac{37}{40}}-\sqrt{\frac{3}{40}})}$

Portanto H≈1,6m.