a sequência 2 vírgula x vírgula Y vírgula zero vírgula oito é a progressão geométrica dessa forma o valor da expressão x ponto z + y =
Respostas
Vamos lá.
Veja, Dalva, que a resolução parece simples porém um pouco trabalhosa.
i) Pede-se o valor de "xz + y", sabendo-se que a seguinte sequência é uma PG:
(2; x; y; z; 8) ---- Veja: se esta sequência é uma PG, então deveremos ter isto:
8/z = z/y = y/x = x/2
ii) Agora vamos tomar as igualdades acima de duas em duas. Assim, teremos:
ii.1) Para y/x = x/2, teremos:
y/x = x/2 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
x² = 2y ---- isolando "x", teremos:
x = ± √(2y) . (I)
ii.2) Para z/y = y/x teremos:
z/y = y/x --- multiplicando-se em cruz, teremos;
y² = zx ---- passando "zx" para o 1º membro, teremos:
y² - zx = 0 . (II)
ii.3) Para 8/z = z/y, teremos:
8/z = z/y --- multiplicando-se em cruz, teremos;
z² = 8y
z = ± √(8y) . (III)
ii.3) Agora vamos substituir as expressões (I) e (III) na expressão (II), que é esta:
y² - zx = 0 ---- substituindo-se "z" por √(8y) e substituindo-se "x" por √(2y), teremos:
y² - √(8y)*√(2y) = 0
y² - √(8y*2y) = 0
y² - √(16y²) = 0 ---- note que √(16y²) = 4y. Logo:
y² - 4y = 0 ---- vamos colocar "y" em evidência, ficando:
y*(y - 4) = 0 ---- daqui você já poderá concluir que:
ou y = 0 ---y' = 0
ou y-4 = 0 ---> y'' = 4.
Como parece que a questão (embora não tenha informado nada) só está considerando as raízes maiores do que zero, entáo teremos que o valor de "y" será:
y = 4 <--- Este é o valor de "y".
iii) Agora vamos na expressão (II) e vamos substituir "y" por 4. A expressão (II) é esta:
y² - zx = 0 ---- substituindo-se "y" por "4", teremos:
4² - zx = 0
16 - zx = 0 ---- passando "16" para o 2º membro, temos:
-zx = - 16 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos:
zx = 16 <--- Este é o valor de "zx".
iv) Agora, finalmente, vamos para a soma pedida de "zx + y". Assim, como vimos que zx = 16 e que y = 4, teremos:
zx + y = 16 + 4
zx + y = 20 <--- Esta é a resposta. Opção "c".
v) Observação importante: fizemos tudo da forma como vimos aí em cima, apenas para deixar patenteado que há várias formas de encontrar a resposta que a questão pede. Mas poderíamos ter chegado a essa mesma resposta de forma bem mais rápida. Veja que tínhamos isto:
8/z = z/y = y/x = x/2 ----- como todas essas razões são iguais entre si, então poderíamos ter feito da seguinte forma:
v.i) Primeiro igualaríamos a primeira razão (8/z) com a última razão (x/2). Fazendo isso, teríamos:
8/z = x/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*8 = xz ---- desenvolvendo, teremos:
16 = xz --- ou, invertendo-se:
xz = 16 <---Veja que já encontramos o valor de "xz".
v.2) Agora tomaremos as razões: z/y = y/x . Assim teremos:
z/y = y/x ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
y*y = x*z
y² = xz ---- como já vimos que xz = 16, teremos:
y² = 16 ---- isolando "y" teremos:
y = ± √(16) ----- como √(16) = 4, teremos:
y = ± 4 ---- mas como já tivemos oportunidade de informar antes, como o enunciado da questão (embora não tenha deixado isso dito) parece que só está admitindo valores maiores do que zero, então teremos que:
y = 4.
v.3) Assim, o valor de xz + y será (já vimos que xz = 16 e y = 4):
xz + y = 16 + 4
xz + y = 20 <--- Veja que a resposta é a mesma a que chegamos antes.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.